Олимпиадные задачи из источника «глава 7. Геометрические места точек» - сложность 4 с решениями

Точки <i>M</i>и <i>N</i>таковы, что <i>AM</i>:<i>BM</i>:<i>CM</i>=<i>AN</i>:<i>BN</i>:<i>CN</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i>проходит через центр <i>O</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Прямая <i>l</i>пересекает две окружности в четырех точках. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными в этих точках, описанный, причем центр его описанной окружности лежит на прямой, соединяющей центры данных окружностей.

Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Треугольник <i>ABC</i>правильный, <i>P</i> — произвольная точка. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вписанных окружностей треугольников <i>PAB</i>,<i>PBC</i>и <i>PCA</i>на прямые <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>, пересекаются в одной точке.

На прямой <i>l</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁и из вершин треугольника <i>ABC</i>на эту прямую опущены перпендикуляры <i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и <i>CC</i>₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁на прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $\overline{A_1B_1}$:$\overline{B_1C_1}$=$\overline{A_2B_2}$:$\overline{B_2C_2}$(от...

а) Перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника <i>ABC</i>на соответствующие стороны треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁на соответствующие стороны треугольника <i>ABC</i>, тоже пересекаются в одной точке. б) Прямые, проведенные через вершины треугольника <i>ABC</i>параллельно соответствующим сторонам треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>&l...

Точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁таковы, что <i>AB</i>₁=<i>AC</i>₁,<i>BC</i>₁=<i>BA</i>₁и <i>CA</i>₁=<i>CB</i>₁. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁на прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>, пересекаются в одной точке.

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вневписанных окружностей на соответственные стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Даны окружность и точка <i>P</i>внутри ее. Через каждую точку <i>Q</i>окружности проведем касательную. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на прямую <i>PQ</i>, и касательная пересекаются в точке <i>M</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>.

Пусть <i>A</i>и <i>B</i> — фиксированные точки плоскости. Найдите ГМТ <i>C</i>, обладающих следующим свойством: высота <i>h</i>_bтреугольника <i>ABC</i>равна <i>b</i>.

Дана полуокружность с центром <i>O</i>. Из каждой точки <i>X</i>, лежащей на продолжении диаметра полуокружности, проводится касающийся полуокружности луч и на нем откладывается отрезок <i>XM</i>, равный отрезку <i>XO</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, полученных таким образом.

Найдите ГМТ <i>X</i>, лежащих внутри правильного треугольника <i>ABC</i>и обладающих тем свойством, что $\angle$<i>XAB</i>+$\angle$<i>XBC</i>+$\angle$<i>XCA</i>= 90^<tt>o</tt>.

Треугольник <i>ABC</i>правильный, <i>M</i> — некоторая точка. Докажите, что если числа <i>AM</i>,<i>BM</i>и <i>CM</i>образуют геометрическую прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.

Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой<i>KO</i>, где<i>O</i>— центр описанной окружности,<i>K</i>— точка Лемуана.

Пусть <i>AD</i>и <i>AE</i> — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника <i>ABC</i>и <i>S</i>_a — окружность с диаметром <i>DE</i>, окружности <i>S</i>_bи <i>S</i>_cопределяются аналогично. Докажите, что: а) окружности <i>S</i>_a,<i>S</i>_bи <i>S</i>_cимеют две общие точки <i>M</i>и <i>N</i>, причем прямая <i>MN</i>проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>; б) проекции точки <i>M</i>(и точки <i>N</i>) на стороны треугольника <i>ABC&...