Олимпиадные задачи из источника «глава 7. Геометрические места точек» для 8 класса
глава 7. Геометрические места точек
НазадТочки <i>P</i> и <i>Q</i> движутся с одинаковой постоянной скоростью <i>v</i> по двум прямым, пересекающимся в точке <i>O</i>.
Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка <i>A</i>, расстояния от которой до точек <i>P</i> и <i>Q</i> в любой момент времени равны.
Даны окружность и точка <i>P</i>внутри ее. Через каждую точку <i>Q</i>окружности проведем касательную. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на прямую <i>PQ</i>, и касательная пересекаются в точке <i>M</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>.
Пусть <i>A</i>и <i>B</i> — фиксированные точки плоскости. Найдите ГМТ <i>C</i>, обладающих следующим свойством: высота <i>h</i><sub>b</sub>треугольника <i>ABC</i>равна <i>b</i>.
Дана полуокружность с центром <i>O</i>. Из каждой точки <i>X</i>, лежащей на продолжении диаметра полуокружности, проводится касающийся полуокружности луч и на нем откладывается отрезок <i>XM</i>, равный отрезку <i>XO</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, полученных таким образом.
Найдите ГМТ <i>X</i>, лежащих внутри правильного треугольника <i>ABC</i>и обладающих тем свойством, что $\angle$<i>XAB</i>+$\angle$<i>XBC</i>+$\angle$<i>XCA</i>= 90<sup><tt>o</tt></sup>.
На плоскости даны четыре точки. Найдите множество центров прямоугольников, образуемых четырьмя прямыми, проходящими соответственно через данные точки.
а) На окружности фиксированы точки <i>A</i>и <i>B</i>, а точки <i>A</i><sub>1</sub>и <i>B</i><sub>1</sub>движутся по той же окружности так, что величина дуги <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>остается постоянной; <i>M</i> — точка пересечения прямых <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>. Найдите ГМТ <i>M</i>. б) В окружность вписаны треугольники <i>ABC</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, причем треугольник <i>ABC</i>неподвижен, а треугольник <i>A</i><...
Точка <i>P</i>перемещается по описанной окружности квадрата <i>ABCD</i>. Прямые <i>AP</i>и <i>BD</i>пересекаются в точке <i>Q</i>, а прямая, проходящая через точку <i>Q</i>параллельно <i>AC</i>, пересекает прямую <i>BP</i>в точке <i>X</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>.
На окружности фиксированы точки <i>A</i>и <i>B</i>, а точка <i>C</i>перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения: а) высот; б) биссектрис треугольников <i>ABC</i>.
Треугольник <i>ABC</i>правильный, <i>M</i> — некоторая точка. Докажите, что если числа <i>AM</i>,<i>BM</i>и <i>CM</i>образуют геометрическую прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.
Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой<i>KO</i>, где<i>O</i>— центр описанной окружности,<i>K</i>— точка Лемуана.
Пусть <i>AD</i>и <i>AE</i> — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника <i>ABC</i>и <i>S</i><sub>a</sub> — окружность с диаметром <i>DE</i>, окружности <i>S</i><sub>b</sub>и <i>S</i><sub>c</sub>определяются аналогично. Докажите, что: а) окружности <i>S</i><sub>a</sub>,<i>S</i><sub>b</sub>и <i>S</i><sub>c</sub>имеют две общие точки <i>M</i>и <i>N</i>, причем прямая <i>MN</i>проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>; б) проекции точки <i>M</i>(и точки <i>N</i>) на стороны треугольника <i>ABC&...
Пусть <i>S</i> — окружность Аполлония для точек <i>A</i>и <i>B</i>, причем точка <i>A</i>лежит вне окружности <i>S</i>. Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AP</i>и <i>AQ</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>B</i> — середина отрезка <i>PQ</i>.
На плоскости даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, для которых <i>AM</i>:<i>BM</i>=<i>k</i>(<i>окружность Аполлония</i>).
Даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>. Две окружности касаются прямой <i>AB</i>(одна — в точке <i>A</i>, другая — в точке <i>B</i>) и касаются друг друга в точке <i>M</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>.
Найдите геометрическое место середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.
Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла <i>ABC</i>. По какой траектории движется середина этого отрезка?
а) Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Докажите, что величина <i>AX</i><sup>2</sup>+<i>CX</i><sup>2</sup>-<i>BX</i><sup>2</sup>-<i>DX</i><sup>2</sup>не зависит от выбора точки <i>X</i>. б) Четырехугольник <i>ABCD</i>не является параллелограммом. Докажите, что все точки <i>X</i>, удовлетворяющие соотношению <i>AX</i><sup>2</sup>+<i>CX</i><sup>2</sup>=<i>BX</i><sup>2</sup>+<i>DX</i><sup>2</sup>, лежат на одной прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему середины диагоналей.
Внутри окружности взята точка <i>A</i>. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности, проведенных через концы всевозможных хорд, содержащих точку <i>A</i>.
Даны две непересекающиеся окружности. Найдите геометрическое место точек центров окружностей, делящих пополам данные окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально противоположных точках).
Даны окружность <i>S</i>и точка <i>M</i>вне ее. Через точку <i>M</i>проводятся всевозможные окружности <i>S</i><sub>1</sub>, пересекающие окружность <i>S</i>; <i>X</i> — точка пересечения касательной в точке <i>M</i>к окружности <i>S</i><sub>1</sub>с продолжением общей хорды окружностей <i>S</i>и <i>S</i><sub>1</sub>. Найдите ГМТ <i>X</i>.
На плоскости даны точки <i>A</i>и <i>B</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, для которых разность квадратов длин отрезков <i>AM</i>и <i>BM</i>постоянна.
Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, лежащих внутри ромба <i>ABCD</i>и обладающих тем свойством, что $\angle$<i>AMD</i>+$\angle$<i>BMC</i>= 180<sup><tt>o</tt></sup>.
Дан прямоугольник <i>ABCD</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>, для которых <i>AX</i>+<i>BX</i>=<i>CX</i>+<i>DX</i>.
Даны две прямые, пересекающиеся в точке <i>O</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>, для которых сумма длин проекций отрезков <i>OX</i>на эти прямые постоянна.