Олимпиадные задачи из источника «глава 7. Геометрические места точек» - сложность 2 с решениями
глава 7. Геометрические места точек
НазадПусть <i>O</i> — центр правильного треугольника <i>ABC</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, удовлетворяющих следующему условию: любая прямая, проведенная через точку <i>M</i>, пересекает либо отрезок <i>AB</i>, либо отрезок <i>CO</i>.
Найдите ГМТ <i>X</i>, из которых можно провести касательные к данной дуге <i>AB</i>окружности.
Внутри выпуклого многоугольника взяты точки <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что существует вершина многоугольника, менее удаленная от <i>Q</i>, чем от <i>P</i>.
Пусть <i>D</i>и <i>E</i> — середины сторон <i>AB</i>и <i>BC</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>M</i>лежит на стороне <i>AC</i>. Докажите, что если <i>MD</i><<i>AD</i>, то <i>ME</i>><i>EC</i>.
Через середину каждой диагонали выпуклого четырехугольника проводится прямая, параллельная другой диагонали. Эти прямые пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что отрезки, соединяющие точку <i>O</i>с серединами сторон четырехугольника, делят его площадь на равные части.
Точки <i>A, B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой, причём <i>B</i> находится между <i>A</i> и <i>C</i>.
Найдите геометрическое место таких точек <i>M</i>, что радиусы описанных окружностей треугольников <i>AMB</i> и <i>CMB</i> равны.
На плоскости даны четыре точки. Найдите множество центров прямоугольников, образуемых четырьмя прямыми, проходящими соответственно через данные точки.
Точка <i>P</i>перемещается по описанной окружности квадрата <i>ABCD</i>. Прямые <i>AP</i>и <i>BD</i>пересекаются в точке <i>Q</i>, а прямая, проходящая через точку <i>Q</i>параллельно <i>AC</i>, пересекает прямую <i>BP</i>в точке <i>X</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>.
На окружности фиксированы точки <i>A</i>и <i>B</i>, а точка <i>C</i>перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения: а) высот; б) биссектрис треугольников <i>ABC</i>.
Даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>. Две окружности касаются прямой <i>AB</i>(одна — в точке <i>A</i>, другая — в точке <i>B</i>) и касаются друг друга в точке <i>M</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>.
Найдите геометрическое место середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.
Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла <i>ABC</i>. По какой траектории движется середина этого отрезка?
На плоскости даны точки <i>A</i>и <i>B</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, для которых разность квадратов длин отрезков <i>AM</i>и <i>BM</i>постоянна.
Дан прямоугольник <i>ABCD</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>, для которых <i>AX</i>+<i>BX</i>=<i>CX</i>+<i>DX</i>.
Даны две прямые, пересекающиеся в точке <i>O</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>, для которых сумма длин проекций отрезков <i>OX</i>на эти прямые постоянна.
Два колеса радиусов <i>r</i><sub>1</sub>и <i>r</i><sub>2</sub>катаются по прямой <i>l</i>. Найдите множество точек пересечения <i>M</i>их общих внутренних касательных.
Стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> площади <i>S</i> не параллельны.
Найдите геометрическое место точек <i>X</i>, лежащих внутри четырёхугольника, для которых <i>S<sub>ABX</sub> + S<sub>CDX</sub> = <sup>S</sup></i>/<sub>2</sub>.