Олимпиадные задачи из источника «Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке <i>O</i>. Вершина <i>A</i> правильного треугольника <i>ABC</i> лежит на большей окружности, а середина стороны <i>BC</i> – на меньшей. Чему может быть равен угол <i>BOC</i>?

Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри, равны. Верно ли, что <i>ABCD</i> – квадрат?

Даны две пересекающиеся окружности с центрами <i>O</i>₁, <i>O</i>₂. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой <i>O</i>₁<i>O</i>₂ на наибольшее расстояние.

В треугольнике <i>ABC</i>  <i>AB – BC</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115902/problem_115902_img_2.gif">.  Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i>, а <i>BN</i> – биссектриса.  Докажите, что  ∠<i>BMC</i> + ∠<i>BNC</i> = 90°.

На окружности отметили <i>n</i> точек. Оказалось, что среди треугольников с вершинами в этих точках ровно половина остроугольных.

Найдите все значения <i>n</i>, при которых это возможно.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности, лучи <i>BA</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лучи <i>BC</i> и <i>AD</i> – в точке <i>F</i>. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми <i>AB, CD</i> и биссектрисой угла <i>B</i>, касается прямой <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми <i>AD, BC</i> и биссектрисой угла <i>B</i>, касается прямой <i>BC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что прямые <i>KL, AC</i> и <i>EF</i> пересекаются в одной точке.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Обозначим через <i>R_a, R_b, R_c</i> и <i>R_d</i> радиусы описанных окружностей треугольников <i>DAB, ABC, BCD, CDA</i>. Докажите, что неравенство  <i>R_a < R_b < R_c < R_d</i>  выполняется тогда и только тогда, когда  180° – ∠<i>CDB</i> < ∠<i>CAB</i> < ∠<i>CDB</i>.

Вписанная и вневписанная окружности треугольника <i>ABC</i> касаются стороны <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Известно, что  ∠<i>BAC</i> = 2∠<i>MAN</i>.

Докажите, что  <i>BC</i> = 2<i>MN</i>.

Вокруг треугольника <i>ABC</i> описали окружность Ω. Пусть <i>L</i> и <i>W</i> – точки пересечения биссектрисы угла <i>A</i> со стороной <i>BC</i> и окружностью Ω соответственно. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ACL</i>. Восстановите треугольник <i>ABC</i>, если даны окружность Ω и точки <i>W</i> и <i>O</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 57<°,  ∠<i>B</i> = 61°,  ∠<i>C</i> = 62°.  Какой из двух отрезков длиннее: биссектриса угла <i>A</i> или медиана, проведённая из вершины <i>B</i>?

На плоскости задано <i>n</i> точек, являющихся вершинами выпуклого <i>n</i>-угольника,  <i>n</i> > 3.  Известно, что существует ровно <i>k</i> равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.

  а) Докажите, что  <i>k</i> < ^2<i>n</i>/₃.

  б) Приведите пример конфигурации, для которой  <i>k</i> > 0,666<i>n</i>.

Многоугольник можно разрезать на две равные части тремя различными способами. Верно ли, что у него обязательно есть центр или ось симметрии?

Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Из точки <i>Q</i> пустили в каждую из окружностей по одному лучу, которые отражаются от окружностей по закону "угол падения равен углу отражения". Точки касания траектории первого луча – <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., второго – <i>B</i>₁, <i>B</i>₂, ... . Оказалось, что точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>P</i> лежат на одной прямой. Докажите, что тогда все прямые <i>A_iB_i</i> проходят через точку <i>P</i>....

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.

Верно ли, что при любом <i>n</i> правильный 2<i>n</i>-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более, чем  <i>n</i> + 2  грани?

В остроугольном треугольнике <i> ABC </i> точка <i>H</i> – ортоцентр, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты. Точка <i>C</i>₂ симметрична <i>C</i> относительно <i>A</i>₁<i>B</i>₁. Докажите, что <i>H, O, C</i>₁ и <i>C</i>₂ лежат на одной окружности.

Дан выпуклый <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A_n</i>. Пусть <i>P_i</i>  (<i>i</i> = 1, ..., <i>n</i>)  – такая точка на его границе, что прямая <i>A_iP_i</i> делит его площадь пополам. Известно, что все точки <i>P_i</i> не совпадают с вершинами и лежат на <i>k</i> сторонах <i>n</i>-угольника. Каково  а) наименьшее;  б) наибольшее возможное значение <i>k</i> при каждом данном <i>n</i>?

На плоскости даны три параллельные прямые.

Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.

Три прямые проходят через точку <i>O</i> и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, на другой – <i>B</i>₁, <i>B</i>₂, так что точка <i>C</i>₁ пересечения прямых <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂ лежит на третьей прямой. Пусть <i>C</i>₂ – точка пересечения <i>A</i>₁<i>B</i>₂ и <i>A</i>₂&l...

В треугольнике <i>ABC</i> отметили центр вписанной окружности, основание высоты, опущенной на сторону <i>AB</i>, и центр вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других. После этого сам треугольник стёрли. Восстановите его.

В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрису <i>CL</i>. Точки <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ симметричны точкам <i>A</i> и <i>B</i> относительно прямой <i>CL, A</i>₂ и <i>B</i>₂ симметричны точкам <i>A</i> и <i>B</i> относительно точки <i>L</i>. Пусть <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>AB</i>₁<i>B</i>₂ и <i>BA</i>₁<i>A</i>₂. Докажите,...

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Оказалось, что описанная окружность треугольника <i>ABC</i>, касается стороны <i>CD</i>, а описанная окружность треугольника <i>ACD</i> касается стороны <i>AB</i>. Докажите, что диагональ <i>AC</i> меньше, чем расстояние между серединами сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>.

Можно ли вписать октаэдр в додекаэдр так, чтобы каждая вершина октаэдра была вершиной додекаэдра?

Дано множество точек <i>O, A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A_n</i> на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы <i><b>x</b></i> и <i><b>y</b></i>, что для любой точки <i>A_i</i> выполняется равенство   <img align="abs" src="/storage/problem-media/115863/problem_115863_img_2.gif">   где <i>k</i> и <i>l</i> – некоторые целые числа.

В треугольнике <i>ABC  M</i> – точка пересечения медиан, <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ – точки касания этой окружности со сторонами <i>BC</i> и <i>AC, G</i> – точка пересечения прямых <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁. Докажите, что угол <i>CGI</i> прямой тогда и только тогда, когда   <i>GM || AB</i>.