Олимпиадная задача по планиметрии: три прямые и доказательство прямого угла
Задача
Три прямые проходят через точку O и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки A1, A2, на другой – B1, B2, так что точка C1 пересечения прямых A1B1 и A2B2 лежит на третьей прямой. Пусть C2 – точка пересечения A1B2 и A2B1. Докажите, что угол C1OC2 прямой.
Решение
Пусть C3 – точка пересечения прямых OC1 и A2B1 (см. рис.). Применив сначала к треугольнику OA2B1 и точке C1 теорему Чевы, а затем к этому же треугольнику и прямой A1B2 теорему Менелая, получаем, что C2A2 : C2B1 = C3A2 : C3B1 = OA2 : OB1. Следовательно, OC2 – внешняя биссектриса угла A2OB1 и OC2 ⊥ OC1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет