Олимпиадная задача по планиметрии: вписанный четырёхугольник и равные окружности

Решение 1:   Пусть P – точка пересечения диагоналей, а окружности, вписанные в криволинейные треугольники ABP, BCP, CDP, DAP, касаются описанной окружности четырёхугольника ABCD в точках K, L, M, N.

  Рассмотрим сегмент ABC. Когда точка X движется по дуге ABC от A к C, радиус окружности, вписанной в сегмент и касающейся дуги в точке X, возрастает, пока X не достигнет середины дуги, и убывает после этого. Следовательно, равным радиусам соответствуют симметричные относительно середины дуги положения X.

  Таким образом,  ⌣AK = ⌣LC.  Аналогично  ⌣AN = ⌣MC.  Значит,  ⌣NK = ⌣LM,  и  ⌣KL = ⌣MN.  Поэтому  ⌣NL = ⌣NK + ⌣KL = 180°,  то есть NL – диаметр окружности. Аналогично, KM тоже является диаметром.

  Симметрия относительно центра O описанной окружности переводит пару окружностей, касающихся её в точках M и N, в пару окружностей, касающихся в точках K и L. Следовательно, общая внешняя касательная первой пары AC перейдёт в CA. Поэтому AC и аналогично BD – диаметры окружности, то есть ABCD – прямоугольник. Его диагонали делят описанную окружность на четыре сектора, и радиусы окружностей, вписанных в эти секторы, равны. Значит, равны и сами секторы, то есть ABCD – квадрат.

Решение 2:   Применяя теорему Тебо (см. задачу 156705) к треугольникам ABC, BCD, CDA, DAB и точке пересечения диагоналей, получаем, что радиусы вписанных окружностей всех четырёх треугольников равны. Вычислив площадь каждого из этих треугольников как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности, и приравняв суммы площадей двух пар треугольников, получим, что  AC = BD,  то есть ABCD – равнобедренная трапеция или прямоугольник. Предположим, что AD, BC – ее основания и  AD > BC.  Тогда  S_ABD : S_ABC = AD : BC > (AD + BD + AB) : (BC + AB + AC),  и радиусы вписанных окружностей этих треугольников не могут быть равными. Следовательно, ABCD – прямоугольник. Аналогично предыдущему решению получаем, что ABCD – квадрат.

Верно.