Олимпиадная задача по планиметрии: ортоцентр, описанная окружность и симметрия
Задача
В остроугольном треугольнике ABC точка H – ортоцентр, O – центр описанной окружности, AA1, BB1 и CC1 – высоты. Точка C2 симметрична C относительно A1B1. Докажите, что H, O, C1 и C2 лежат на одной окружности.
Решение
Как известно, треугольники ABC и A1B1C подобны с коэффициентом cos∠C. Значит, поскольку ∠ACO = BCC1 = 90° – ∠B, прямая CO содержит высоту треугольника A1B1C, то есть точки C, O, C2 лежат на одной прямой (см. рис.). Кроме того, CC2 : CC1 = 2 cos∠C. С другой стороны, CH = 2CO cos∠C (это следует из того, что при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом 2 точка O переходит в H). Следовательно,
CO·CC2 = CH·CC1 , что равносильно утверждению задачи.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь