Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии: треугольники на окружности
Задача
На окружности отметили n точек. Оказалось, что среди треугольников с вершинами в этих точках ровно половина остроугольных.
Найдите все значения n, при которых это возможно.
Решение
Очевидно, что n > 3. Рассмотрим произвольный четырёхугольник с вершинами в данных точках. Если центр окружности лежит внутри четырёхугольника и не на его диагонали (назовем такой четырёхугольник хорошим), то из четырёх треугольников, образованных вершинами четырёхугольника, остроугольных ровно два. Во всех остальных случаях остроугольных треугольников меньше двух. Следовательно, условие задачи выполняется только тогда, когда все четырёхугольники, образованные данными точками, хорошие. Очевидно, что при n = 4 и n = 5 это возможно (например, можно взять вершины правильного пятиугольника).
Пусть n > 5. Рассмотрим какую-нибудь из данных точек A и проведём через нее диаметр AA'. Если точка A' отмечена, то четырёхугольник, образованный A, A' и любыми двумя из остальных точек, не будет хорошим. В противном случае найдутся три отмеченные точки, лежащие по одну сторону от AA'. Четырёхугольник, образованный этими точками и точкой A, не является хорошим.
Ответ
n = 4 или 5.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь