Олимпиадные задачи по математике
Дано множество точек <i>O, A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, ..., <i>A<sub>n</sub></i> на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы <i><b>x</b></i> и <i><b>y</b></i>, что для любой точки <i>A<sub>i</sub></i> выполняется равенство <img align="abs" src="/storage/problem-media/115863/problem_115863_img_2.gif"> где <i>k</i> и <i>l</i> – некоторые целые числа.
В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями <i>x ± y ± z = n</i> (при всех целых <i>n</i>). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка (<i>x</i><sub>0</sub>, <i>y</i><sub>0</sub>, <i>z</i><sub>0</sub>) с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное <i>k</i>, при котором точка (<i>kx</i><sub>0</sub>, <i>ky</i><sub>0</sub>, <i>kz</i><sub>0</sub>) лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.