Восстановление треугольника по элементам: олимпиадная задача по планиметрии
Задача
В треугольнике ABC отметили центр вписанной окружности, основание высоты, опущенной на сторону AB, и центр вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других. После этого сам треугольник стёрли. Восстановите его.
Решение
Центры вписанной и вневписанной окружностей I и Ic лежат на биссектрисе угла C. Пусть C' – точка пересечения этой биссектрисы со стороной AB (см. рис.). Тогда CI : CIc = r : rc = C'I : C'Ic, где r, rc – радиусы вписанной и вневписанной окружностей. Поэтому окружность с диаметром CC' является окружностью Аполлония для точек I, Ic и отношения r : rc. Так как основание H высоты, опущенной на AB, лежит на этой окружности, то HC' и HC – внутренняя и внешняя биссектрисы угла IHIc. Следовательно, проведя эти биссектрисы, мы восстановим точку C и прямую AB. Поскольку
∠IAIc = ∠IBIc = 90°, точки A, B лежат на окружности с диаметром IIc. Построив эту окружность и найдя точки её пересечения с прямой AB, мы восстановим треугольник.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь