Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 7 класса - сложность 3-5 с решениями
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
НазадВ трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
На плоскости расположено<i>n</i>$\ge$5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.
На окружности отметили 4<i>n</i>точек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере <i>n</i>точек пересечения красных отрезков с синими.
Точка <i>O</i>, лежащая внутри выпуклого многоугольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>, обладает тем свойством, что любая прямая<i>OA</i><sub>i</sub>содержит еще одну вершину <i>A</i><sub>j</sub>. Докажите, что кроме точки <i>O</i>никакая другая точка не обладает этим свойством.
Разрежьте разносторонний треугольник на 7 равнобедренных, три из которых равны.
Разрежьте произвольный тупоугольный треугольник на 7 остроугольных.
Можно ли какой-нибудь невыпуклый 5-угольник разрезать на два равных 5-угольника?
Разрежьте квадрат на 8 остроугольных треугольников.
а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно разрезать на неравные треугольники, подобные исходному. б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на неравные правильные треугольники.
Существует ли треугольник, который можно разрезать: а) на 3 равных треугольника, подобных исходному?; б) на 5 треугольников, подобных исходному (не обязательно равных)?
Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.
Вершины правильного 2<i>n</i>-угольника <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>2<i>n</i></sub> разбиты на <i>n</i> пар.
Докажите, что если <i>n</i> = 4<i>m</i> + 2 или <i>n</i> = 4<i>m</i> + 3, то две пары вершин являются концами равных отрезков.
На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев ломаной <i>особой</i>, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особых пар чётно.
Окружность разбита точками на 3<i>k</i> дуг: по <i>k</i> дуг длины 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.
Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого<i>n</i>-угольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в вершинах<i>n</i>-угольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?
В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)
На плоскости дано 25 точек, причем среди любых трех из них найдутся две на расстоянии меньше 1. Докажите, что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек.
На шахматной доске 8×8 отмечены центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми, не проходящими через эти центры, разбить доску на части так, чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной точки?
В прямоугольнике 3×4 расположено 6 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не превосходит $\sqrt{5}$.
Точки <i>P</i> и <i>Q</i> движутся с одинаковой постоянной скоростью <i>v</i> по двум прямым, пересекающимся в точке <i>O</i>.
Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка <i>A</i>, расстояния от которой до точек <i>P</i> и <i>Q</i> в любой момент времени равны.
Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
На каждой стороне четырехугольника <i>ABCD</i>взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник <i>ABCD</i>тоже описанный. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/56664/problem_56664_img_2.gif" border="1"></div>
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Вневписанная окружность треугольника<i>ABD</i>касается продолжений сторон <i>AD</i>и <i>AB</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что точки пересечения отрезка <i>MN</i>с <i>BC</i>и <i>CD</i>лежат на вписанной окружности треугольника <i>BCD</i>.
К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что четырехугольник <i>ABCD</i>описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.
Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами <i>R</i>и <i>r</i>пересекает их общие внешние касательные в точках <i>A</i>и <i>B</i>и касается одной из окружностей в точке <i>C</i>. Докажите, что <i>AC</i><sup> . </sup><i>CB</i>=<i>Rr</i>.