Задача
Вершины правильного 2n-угольника A1...A2n разбиты на n пар.
Докажите, что если n = 4m + 2 или n = 4m + 3, то две пары вершин являются концами равных отрезков.
Решение
Предположим, что все пары вершин задают отрезки разной длины. Отрезку ApAq поставим в соответствие наименьшее из чисел |p – q| и 2n – |p – q|. В результате для данных n пар вершин получим числа 1, 2, ..., n. Заметим, что среди этих чисел чётных ровно k = 2m + 1 , а нечётных – n – k. Нечётным числам соответствуют отрезки ApAq, где числа p и q разной чётности. Поэтому среди вершин остальных отрезков будет n – (n – k) = k вершин с чётными номерами. Поскольку эти отрезки соединяют вершины с номерами одной чётности, то k чётно. Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь