Задача
На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев ломаной особой, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особых пар чётно.
Решение
Возьмём соседние звенья AB и BC и назовём уголком угол, симметричный углу ABC относительно точки B (на рисунке уголок заштрихован). Такие же уголки можно рассмотреть для всех вершин ломаной. Ясно, что число особых пар равно числу точек пересечения звеньев с уголками. Остается заметить, что число звеньев ломаной, пересекающихся с одним уголком, чётно, так как по пути от A к C ломаная входит в уголок столько же раз, сколько выходит из него.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь