Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 7 класса
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
НазадДоказать, что в произвольном выпуклом 2<i>n</i>-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
На плоскости расположено<i>n</i>$\ge$5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.
На окружности отметили 4<i>n</i>точек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере <i>n</i>точек пересечения красных отрезков с синими.
Точка <i>O</i>, лежащая внутри выпуклого многоугольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>, обладает тем свойством, что любая прямая<i>OA</i><sub>i</sub>содержит еще одну вершину <i>A</i><sub>j</sub>. Докажите, что кроме точки <i>O</i>никакая другая точка не обладает этим свойством.
Можно ли нарисовать на плоскости шесть точек и так соединить их непересекающимися отрезками, что каждая точка будет соединена ровно с четырьмя другими?
Постройте замкнутую шестизвенную ломаную, пересекающую каждое свое звено ровно один раз.
Разрежьте разносторонний треугольник на 7 равнобедренных, три из которых равны.
Разрежьте произвольный тупоугольный треугольник на 7 остроугольных.
Можно ли какой-нибудь невыпуклый 5-угольник разрезать на два равных 5-угольника?
Разрежьте квадрат на 8 остроугольных треугольников.
а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно разрезать на неравные треугольники, подобные исходному. б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на неравные правильные треугольники.
Существует ли треугольник, который можно разрезать: а) на 3 равных треугольника, подобных исходному?; б) на 5 треугольников, подобных исходному (не обязательно равных)?
Разрежьте фигуру, изображенную на рис. на 4 равные части. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58228/problem_58228_img_2.gif" border="1"></div>
Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.
Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.
Вершины правильного 2<i>n</i>-угольника <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>2<i>n</i></sub> разбиты на <i>n</i> пар.
Докажите, что если <i>n</i> = 4<i>m</i> + 2 или <i>n</i> = 4<i>m</i> + 3, то две пары вершин являются концами равных отрезков.
На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев ломаной <i>особой</i>, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особых пар чётно.
Окружность разбита точками на 3<i>k</i> дуг: по <i>k</i> дуг длины 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.
На плоскости лежат три шайбы <i>A, B</i> и <i>C</i>. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после25 ударов?
На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Прямая <i>l</i> пересекает её ровно в 1985 точках.
Докажите, что существует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.
Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
а) (2<i>n</i>+1)-угольника; б) 2<i>n</i>-угольника?
а) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью. б) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.
Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого<i>n</i>-угольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в вершинах<i>n</i>-угольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?
В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)