Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что

а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;

б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  <i>n</i> ctg ^π/_2<i>n</i>;

в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  <i>n</i>^<i>n</i>/2.

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся

  а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ³/₂₀;

  б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше &frac15;;

  в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше ¹/₂₀.

Вершины<i>A</i>и<i>B</i>треугольника<i>ABC</i>скользят по сторонам прямого угла. Докажите, что если угол<i>C</i>не прямой, то вершина<i>C</i>перемещается при этом по эллипсу.

Докажите, что все вписанные в эллипс ромбы описаны вокруг одной окружности.

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число${\frac{a-b}{a-c}}$, называемое<i>простым отношением</i>трех комплексных чисел, вещественно. б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число${\frac{a-c}{a-d}}$:${\frac{b-c}{b-d}}$, называемое<i>двойным отношением</i>четырех комплексных чисел, вещественно.

С помощью одного циркуля

  а) постройте точки пересечения данной окружности <i>S</i> и прямой, проходящей через данные точки <i>A</i> и <i>B</i>;

  б) постройте точку пересечения прямых <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂, где <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>A</i>₂ и <i>B</i>₂ – данные точки.

На прямой даны точки <i>A</i>₁, ..., <i>A_n</i> и <i>B</i>₁, ..., <i>B</i>_<i>n</i>–1. Докажите, что   <img width="27" height="60" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/58310/problem_58310_img_2.gif">   <img width="72" height="99" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/58310/problem_58310_img_3.gif"> = 1.

На плоскости дано <i>n</i> фигур. Пусть <i>S</i>_{<i>i</i>₁...<i>i_k</i>} – площадь пересечения фигур с номерами <i>i</i>₁, ..., <i>i_k</i>, a <i>S</i> – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; <i>M_k</i> – сумма всех чисел <i>S</i>_{<i>i</i>₁...<i>i_k</i>}. Докажите, что:

  а)  <i>S</i> = <i>M</i>₁ – <i>M</i>₂ + <i>M</i>₃ – ... + (–1)&l...

По двум пересекающимся прямым с постоянными, но не равными скоростями движутся точки <i>A</i> и <i>B</i>.

Докажите, что существует такая точка <i>P</i>, что в любой момент времени  <i>AP</i> : <i>BP = k</i>,  где <i>k</i> – отношение скоростей.

Трапеции<i>ABCD</i>и <i>APQD</i>имеют общее основание<i>AD</i>, причем длины всех их оснований попарно различны. Докажите, что на одной прямой лежат точки пересечения следующих пар прямых: а)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AP</i>и <i>DQ</i>,<i>BP</i>и <i>CQ</i>; б)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AQ</i>и <i>DP</i>,<i>BQ</i>и <i>CP</i>.

Пусть <i>M</i> — центр масс<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_n;<i>M</i>₁,...,<i>M</i>_n — центры масс (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных из этого<i>n</i>-угольника выбрасыванием вершин<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nсоответственно. Докажите, что многоугольники<i>A</i>₁...<i>A</i>_nи <i>M</i>₁...<i>M</i>_nгомотетичны.

Вписанная окружность касается сторон треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁; точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что  <i>A</i>₂<i>B</i>₂ || <i>AB</i>  и прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂ и <i>CC</i>₂ пересекаются в одной точке.

Равные окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂касаются окружности <i>S</i>внутренним образом в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂. Произвольная точка <i>C</i>окружности <i>S</i>соединена отрезками с точками <i>A</i>₁и <i>A</i>₂. Эти отрезки пересекают <i>S</i>₁и <i>S</i>₂в точках <i>B</i>₁и <i>B</i>₂. Докажите, что<i>A</i>₁<i>A</i>₂|<i>B</i><...

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> с основанием <i>BC</i> угол при вершине <i>A</i> равен 80°. Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>M</i> так, что ∠<i>MBC</i> = 30°  и  ∠<i>MCB</i> = 10°.  Найдите величину угла <i>AMC</i>.

В правильном восемнадцатиугольнике <i>A</i>₀...<i>A</i>₁₇ проведены диагонали <i>A</i>₀<i>A</i>_<i>p</i>+3, <i>A</i>_<i>p</i>+1<i>A</i>_{18–<i>r</i>} и <i>A</i>₁<i>A</i>_{<i>p</i>+<i>q</i>+3}.

Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:

  а)  {<i>p, q, r</i>} = {1, 3, 4},

  б)  {<i>p, q, r</i>} = {2, 2, 3}.

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.

б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.