Задача
Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A1, B1 и C1; точки A2, B2 и C2 симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что A2B2 || AB и прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть I – центр вписанной окружности; a и b – прямые OA и OB. Тогда SaSb(C1) = Sa(A1) = A2 и SbSa(C1) = Sb(B1) = B2. Следовательно, точки A2 и B2 получаются из точки C1 поворотами с центром I на противоположные углы, поэтому прямая A2B2 перпендикулярна IC, то есть параллельна AB.
Аналогичные рассуждения показывают, что стороны треугольников ABC и A2B2C2 параллельны, а значит, эти треугольники гомотетичны. Прямые AA2, BB2 и CC2 проходят через центр гомотетии, переводящей треугольник ABC в A2B2C2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь