Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Теорема Птолемея»
параграф 3. Теорема Птолемея
НазадОкружности $\alpha$,$\beta$,$\gamma$и $\delta$касаются данной окружности в вершинах <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Пусть <i>t</i><sub>$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$</sub> — длина общей касательной к окружностям $\alpha$и $\beta$(внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); <i>t</i><sub>$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$</sub>,<i>t</i><sub>$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$</sub>и т. д. определяются аналогично. Докажите, что <i>t</i><sub>$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$</sub><...
Окружности радиуса <i>x</i>и <i>y</i>касаются окружности радиуса <i>R</i>, причем расстояние между точками касания равно <i>a</i>. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям: а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно; б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.
На дуге <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2n + 1</sub>описанной окружности <i>S</i>правильного (2<i>n</i>+ 1)-угольника <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>2n + 1</sub>взята точка <i>A</i>. Докажите, что: а) <i>d</i><sub>1</sub>+<i>d</i><sub>3</sub>+ ... +<i>d</i><sub>2n + 1</sub>=<i>d</i><sub>2</sub>+<i>d</i><sub>4</sub>+ ... +<i>d</i><sub>2n</sub>, где <i>d</i><sub>i</sub>=<i>AA</i><sub>i</sub>; б) <i>l</i><sub>1</sub>+ ... +<i>l</i>&l...
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Окружность, проходящая через точку <i>A</i>, пересекает отрезки <i>AB</i>,<i>AC</i>и <i>AD</i>в точках <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>соответственно. Докажите, что <i>AP</i><sup> . </sup><i>AB</i>=<i>AR</i><sup> . </sup><i>AD</i>=<i>AQ</i><sup> . </sup><i>AC</i>.
На дуге <i>CD</i>описанной окружности квадрата <i>ABCD</i>взята точка <i>P</i>. Докажите, что <i>PA</i>+<i>PC</i>=$\sqrt{2}$<i>PB</i>.
Биссектриса угла <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AB</i>+<i>AC</i>$\leq$2<i>AD</i>.
Вписанная окружность касается сторон<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>в точках<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>. Пусть<i>Q</i>— середина отрезка<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>. Докажите, что$\angle$<i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>C</i>=$\angle$<i>QC</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>.
Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны <i>d</i><sub>a</sub>,<i>d</i><sub>b</sub>и <i>d</i><sub>c</sub>. Докажите, что <i>d</i><sub>a</sub>+<i>d</i><sub>b</sub>+<i>d</i><sub>c</sub>=<i>R</i>+<i>r</i>.
Пусть $\alpha$=$\pi$/7. Докажите, что ${\frac{1}{\sin\alpha }}$=${\frac{1}{\sin 2\alpha }}$+${\frac{1}{\sin 3\alpha }}$.
Четырехугольник <i>ABCD</i>вписанный. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{AC}{BD}}$ = $\displaystyle {\frac{AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}}$. </div>
Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.