Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Теорема Паскаля»

Точки <i>A</i>₁,...,<i>A</i>₆лежат на одной окружности, а точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — на прямых <i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>A</i>₃<i>A</i>₄,<i>A</i>₁<i>A</i>₆и <i>A</i>₄<i>A</i>₅соответственно, причем <i>KL</i>|<i>A</i>₂<i>A</i>₃,<i>LM</i>|<i>A</i>₃<i>A&lt...

Даны пять точек некоторой окружности. С помощью одной линейки постройте шестую точку этой окружности.

Две окружности касаются описанной окружности треугольника<i>ABC</i>в точке<i>K</i>; кроме того, одна из этих окружностей касается стороны<i>AB</i>в точке<i>M</i>, а другая касается стороны<i>AC</i>в точке<i>N</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>лежит на прямой<i>MN</i>.

Точки <i>A</i>и <i>A</i>₁, лежащие внутри окружности с центром <i>O</i>, симметричны относительно точки <i>O</i>. Лучи <i>AP</i>и <i>A</i>₁<i>P</i>₁сонаправлены, лучи <i>AQ</i>и <i>A</i>₁<i>Q</i>₁тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения прямых <i>P</i>₁<i>Q</i>и <i>PQ</i>₁лежит на прямой <i>AA</i>₁. (Точки <i>P</i>,<i>P</i>₁,<i>Q</i>и <i>Q</i><sub>1</sub&g...

Четырехугольник<i>ABCD</i>вписан в окружность с центром<i>O</i>. Точка<i>X</i>такова, что$\angle$<i>BAX</i>=$\angle$<i>CDX</i>= 90^<tt>o</tt>. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника<i>ABCD</i>лежит на прямой<i>XO</i>.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность <i>S</i>; <i>X</i> — произвольная точка, <i>M</i>и <i>N</i> — вторые точки пересечения прямых <i>XA</i>и <i>XD</i>с окружностью <i>S</i>. Прямые <i>DC</i>и <i>AX</i>, <i>AB</i>и <i>DX</i>пересекаются в точках <i>E</i>и <i>F</i>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>MN</i>и <i>EF</i>лежит на прямой <i>BC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁и биссектрисы <i>AA</i>₂и <i>BB</i>₂; вписанная окружность касается сторон <i>BC</i>и <i>AC</i>в точках <i>A</i>₃и <i>B</i>₃. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃пересекаются в одной точке или параллельны.

Даны треугольник<i>ABC</i>и некоторая точка <i>T</i>. Пусть <i>P</i>и <i>Q</i> — основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>T</i>на прямые<i>AB</i>и <i>AC</i>соответственно, a <i>R</i>и <i>S</i> — основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>A</i>на прямые<i>TC</i>и<i>TB</i>соответственно. Докажите, что точка пересечения <i>X</i>прямых<i>PR</i>и <i>QS</i>лежит на прямой<i>BC</i>.

Точка <i>M</i>лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>; <i>R</i> — произвольная точка. Прямые <i>AR</i>,<i>BR</i>и <i>CR</i>пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что точки пересечения прямых <i>MA</i>₁и <i>BC</i>, <i>MB</i>₁и <i>CA</i>, <i>MC</i>₁и <i>AB</i>лежат на одной прямой, проходящей через точку <i>R</i>.

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).