Задача
Окружность радиуса rкасается сторон многоугольника в точках A1,...,An, причем длина стороны, на которой лежит точка Ai, равна ai. Точка Xудалена от центра окружности на расстояние d. Докажите, чтоa1XA12+ ... +anXAn2=P(r2+d2), где P — периметр многоугольника.
Решение
Пусть O — центр данной окружности. Тогда $\overrightarrow{XA}{i}^{}$=$\overrightarrow{XO}$+$\overrightarrow{OA}{i}^{}$, а значит, XAi2=XO2+OAi2+ 2($\overrightarrow{XO}$,$\overrightarrow{OA}{i}^{}$) =d2+r2+ 2($\overrightarrow{XO}$,$\overrightarrow{OA}{i}^{}$). Так как a1$\overrightarrow{OA}{1}^{}$+ ... +an$\overrightarrow{OA}{n}^{}$=$\overrightarrow{0}$(см. задачу 13.4), то a1XA12+ ... +anXAn2= (a1+ ... +an)(d2+r2).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь