Задача
Точки A1,...,A6лежат на одной окружности, а точки K,L,Mи N — на прямых A1A2,A3A4,A1A6и A4A5соответственно, причем KL|A2A3,LM|A3A6и MN|A6A5. Докажите, что NK|A5A2.
Решение
Пусть Pи Q — точки пересечения прямой A3A4с A1A2и A1A6, а Rи S — точки пересечения прямой A4A5с A1A6и A1A2. Тогда A2K:A3L=A2P:A3P,A3L:A6M=A3Q:A6Qи A6M:A5N=A6R:A5R. Поэтому требуемое соотношение A2K:A5N=A2S:A5Sперепишется в виде
$\displaystyle {\frac{A_2P}{A_3P}}$ . $\displaystyle {\frac{A_3Q}{A_6Q}}$ . $\displaystyle {\frac{A_6R}{A_5R}}$ . $\displaystyle {\frac{A_5S}{A_2S}}$ = 1.
Пусть T — точка пересечения прямых A2A3и A5A6; по теореме
Паскаля точки S,Qи Tлежат на одной прямой. Применяя теорему
Менелая (см. задачу 5.58) к треугольнику PQSи точкам T,A2и A3, а также к треугольнику RQSи точкам T,A5и A6, получаем
$\displaystyle {\frac{A_2P}{A_2S}}$ . $\displaystyle {\frac{A_3Q}{A_3P}}$ . $\displaystyle {\frac{TS}{TQ}}$ = 1 и $\displaystyle {\frac{TQ}{TS}}$ . $\displaystyle {\frac{A_5S}{A_5R}}$ . $\displaystyle {\frac{A_6R}{A_6Q}}$ = 1.
Перемножая эти равенства, получаем требуемое. (Отношения отрезков
следует считать ориентированными.)
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет