Пусть ABC — треугольник, вписанный в окружность S. Обозначим расстояния от центра Oокружности до сторон BC,CAи ABчерез a,bи cсоответственно. Тогда R+r=a+b+c, если точка Oлежит внутри треугольника ABC, и R+r= -a+b+c, если точки Oи Aлежат по разные стороны от прямой BC(см. задачу 12.38). Каждая из диагоналей разбиения принадлежит двум треугольникам разбиения. Для одного из этих треугольников точка Oи оставшаяся вершина лежат по одну сторону от диагонали, для другого — по разные стороны. Разбиение n-угольника непересекающимися диагоналями на треугольники состоит из n- 2 треугольников. Поэтому сумма (n- 2)R+r₁+ ... +r_{n - 2}равна сумме расстояний от точки Oдо сторон n-угольника (расстояния до сторон берутся с соответствующими знаками). Из этого видно, что сумма r₁+ ... +r_{n - 2}не зависит от разбиения.

Ответ задачи отсутствует