Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Пятиугольники»

Правильный пятиугольник <i>ABCDE</i>со стороной <i>a</i>вписан в окружность <i>S</i>. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной <i>b</i>(см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности <i>S</i>, равна <i>c</i>. Докажите, что <i>a</i>²+<i>b</i>²=<i>c</i>².

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57059/problem_57059_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырёх сторонах пятиугольника.

а) Диагонали <i>AC</i>и <i>BE</i>правильного пятиугольника <i>ABCDE</i>пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>CKE</i>касается прямой <i>BC</i>. б) Пусть <i>a</i> — длина стороны правильного пятиугольника, <i>d</i> — длина его диагонали. Докажите, что <i>d</i>²=<i>a</i>²+<i>ad</i>.

В равностороннем (неправильном) пятиугольнике <i>ABCDE</i>угол <i>ABC</i>вдвое больше угла <i>DBE</i>. Найдите величину угла <i>ABC</i>.