Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Четырехугольники»

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

Окружности, диаметрами которых служат стороны <i>AB</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, касаются сторон <i>CD</i>и <i>AB</i>соответственно. Докажите, что <i>BC</i>|<i>AD</i>.

Дан выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>; <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁и <i>D</i>₁ — центры описанных окружностей треугольников <i>BCD</i>,<i>CDA</i>,<i>DAB</i>и <i>ABC</i>. Аналогично для четырехугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁определяются точки <i>A</i>₂,<i>B</i>₂,<i>C</i>₂и <i>D</i>₂. Докажите, что чет...

О выпуклом четырехугольнике <i>ABCD</i>известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники <i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDA</i>и <i>DAB</i>, равны между собой. Докажите, что <i>ABCD</i> — прямоугольник.

Окружность радиуса <i>r</i>₁касается сторон <i>DA</i>,<i>AB</i>и <i>BC</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, окружность радиуса <i>r</i>₂ — сторон <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CD</i>; аналогично определяются <i>r</i>₃и <i>r</i>₄. Докажите, что ${\frac{AB}{r_1}}$+${\frac{CD}{r_3}}$=${\frac{BC}{r_2}}$+${\frac{AD}{r_4}}$.

Диагонали описанной трапеции <i>ABCD</i>с основаниями <i>AD</i>и <i>BC</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Радиусы вписанных окружностей треугольников <i>AOD</i>,<i>AOB</i>,<i>BOC</i>и <i>COD</i>равны <i>r</i>₁,<i>r</i>₂,<i>r</i>₃и <i>r</i>₄соответственно. Докажите, что${\frac{1}{r_1}}$+${\frac{1}{r_3}}$=${\frac{1}{r_2}}$+${\frac{1}{r_4}}$.

Выпуклый четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения медиан двух противоположных треугольников, перпендикулярна прямой, соединяющей точки пересечения высот двух других треугольников.

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

Четырехугольник <i>ABCD</i>выпуклый; точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁и <i>D</i>₁таковы, что <i>AB</i>||<i>C</i>₁<i>D</i>₁,<i>AC</i>||<i>B</i>₁<i>D</i>₁и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁тоже выпуклый, причем $\angle$<i>A</i>+$\angle$<i>C</i><sub>1<...

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.

Середины <i>M</i>и <i>N</i>диагоналей <i>AC</i>и <i>BD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>не совпадают. Прямая <i>MN</i>пересекает стороны <i>AB</i>и <i>CD</i>в точках <i>M</i>₁и <i>N</i>₁. Докажите, что если <i>MM</i>₁=<i>NN</i>₁, то <i>AD</i>|<i>BC</i>.

Два различных параллелограмма <i>ABCD</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁с соответственно параллельными сторонами вписаны в четырехугольник <i>PQRS</i>(точки <i>A</i>и <i>A</i>₁лежат на стороне <i>PQ</i>, <i>B</i>и <i>B</i>₁ — на <i>QR</i>и т. д.). Докажите, что диагонали четырехугольника параллельны сторонам параллелограммов.

Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.

На сторонах <i>BC</i>и <i>AD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>M</i>и <i>N</i>так, что <i>BM</i>:<i>MC</i>=<i>AN</i>:<i>ND</i>=<i>AB</i>:<i>CD</i>. Лучи <i>AB</i>и <i>DC</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i>параллельна биссектрисе угла <i>AOD</i>.

В четырехугольнике <i>ABCD</i>стороны <i>AB</i>и <i>CD</i>равны, причем лучи <i>AB</i>и <i>DC</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что прямая, соединяющая середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла <i>AOD</i>.

Угол между сторонами <i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>равен $\varphi$. Докажите, что <i>AD</i>²=<i>AB</i>²+<i>BC</i>²+<i>CD</i>²- 2(<i>AB</i>^.<i>BC</i>cos <i>B</i>+<i>BC</i>^.<i>CD</i>cos <i>C</i>+<i>CD</i>^.<i>AB</i>cos$\varphi$).