Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Шестиугольники»

а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника<i>ABCDEF</i>попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали<i>AD</i>,<i>BE</i>и<i>CF</i>равны. б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно, самопересекающегося) шестиугольника.

Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждый из трех отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, делит площадь пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке.

Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждая из трех диагоналей, соединяющих противоположные вершины, делит площадь пополам, то эти диагонали пересекаются в одной точке.

Суммы углов при вершинах <i>A</i>,<i>C</i>,<i>E</i>и <i>B</i>,<i>D</i>,<i>F</i>выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>с равными сторонами равны. Докажите, что противоположные стороны этого шестиугольника параллельны.

Все углы выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>равны. Докажите, что |<i>BC</i>-<i>EF</i>| = |<i>DE</i>-<i>AB</i>| = |<i>AF</i>-<i>CD</i>|.

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>попарно параллельны. Докажите, что: а) площадь треугольника <i>ACE</i>составляет не менее половины площади шестиугольника. б) площади треугольников <i>ACE</i>и <i>BDF</i>равны.