Олимпиадные задачи из источника «глава 17. Осевая симметрия» для 10 класса
Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.
Вписанная окружность касается сторон треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>; точки <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>2</sub> симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub> || <i>AB</i> и прямые <i>AA</i><sub>2</sub>, <i>BB</i><sub>2</sub> и <i>CC</i><sub>2</sub> пересекаются в одной точке.
Дана прямая <i>MN</i> и две точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от нее. Постройте на прямой <i>MN</i> точку <i>X</i> так, что ∠<i>AXM</i> = 2∠<i>BXN</i>.
Равные окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>касаются окружности <i>S</i>внутренним образом в точках <i>A</i><sub>1</sub>и <i>A</i><sub>2</sub>. Произвольная точка <i>C</i>окружности <i>S</i>соединена отрезками с точками <i>A</i><sub>1</sub>и <i>A</i><sub>2</sub>. Эти отрезки пересекают <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>в точках <i>B</i><sub>1</sub>и <i>B</i><sub>2</sub>. Докажите, что<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>|<i>B</i><...