Олимпиадные задачи из источника «глава 17. Осевая симметрия» - сложность 2 с решениями
Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?
На окружности с центром <i>O</i>даны точки<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>, делящие ее на равные дуги, и точка <i>X</i>. Докажите, что точки, симметричные <i>X</i>относительно прямых<i>OA</i><sub>1</sub>,...,<i>OA</i><sub>n</sub>, образуют правильный многоугольник.
Точка <i>A</i>расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что: а) за 25 отражений точку <i>A</i>можно к загнатьк внутрь данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.
а) Прямые <i>l</i><sub>1</sub>и <i>l</i><sub>2</sub>параллельны. Докажите, что<i>S</i><sub>l<sub>1</sub></sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>l<sub>2</sub></sub>=<i>T</i><sub>2<b>a</b></sub>, где <i>T</i><sub><b>a</b></sub> — параллельный перенос, переводящий <i>l</i><sub>1</sub>в <i>l</i><sub>2</sub>, причем<b>a</b>$\perp$<i>l</i><sub>1</sub>. б) Прямые <i>l</i><sub>1</sub>и <i>l</i><sub>2</sub>пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что<i>S</i&g...
Вписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается сторон<i>AC</i>и <i>BC</i>в точках <i>B</i><sub>1</sub>и <i>A</i><sub>1</sub>. Докажите, что если<i>AC</i>><i>BC</i>, то<i>AA</i><sub>1</sub>><i>BB</i><sub>1</sub>.
В треугольнике<i>ABC</i>проведена медиана<i>AM</i>. Докажите, что2<i>AM</i>$\ge$(<i>b</i>+<i>c</i>)cos($\alpha$/2).
На биссектрисе внешнего угла <i>C</i>треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>M</i>, отличная от <i>C</i>. Докажите, что<i>MA</i>+<i>MB</i>><i>CA</i>+<i>CB</i>.
Даны три прямые <i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>и <i>l</i><sub>3</sub>, пересекающиеся в одной точке, и точка <i>A</i>на прямой <i>l</i><sub>1</sub>. Постройте треугольник<i>ABC</i>так, чтобы точка <i>A</i>была его вершиной, а биссектрисы треугольника лежали на прямых <i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>и <i>l</i><sub>3</sub>.
Постройте треугольник<i>ABC</i>, если даны точки <i>A</i>,<i>B</i>и прямая, на которой лежит биссектриса угла <i>C</i>.
Даны три прямые <i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>и <i>l</i><sub>3</sub>, пересекающиеся в одной точке, и точка <i>A</i><sub>1</sub>на прямой <i>l</i><sub>1</sub>. Постройте треугольник<i>ABC</i>так, чтобы точка <i>A</i><sub>1</sub>была серединой его стороны<i>BC</i>, а прямые <i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>и <i>l</i><sub>3</sub>были серединными перпендикулярами к сторонам.
Дана прямая <i>l</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>, лежащие по одну сторону от нее. Постройте такую точку <i>X</i>прямой <i>l</i>, что<i>AX</i>+<i>XB</i>=<i>a</i>, где <i>a</i> — данная величина.
Постройте треугольник<i>ABC</i>по: а) <i>c</i>,<i>a</i>-<i>b</i>(<i>a</i>><i>b</i>) и углу <i>C</i>; б) <i>c</i>,<i>a</i>+<i>b</i>и углу <i>C</i>.
Постройте треугольник<i>ABC</i>по стороне <i>c</i>, высоте <i>h</i><sub>c</sub>и разности углов <i>A</i>и <i>B</i>.
Постройте треугольник<i>ABC</i>по <i>a</i>,<i>b</i>и разности углов <i>A</i>и <i>B</i>.
Постройте четырехугольник<i>ABCD</i>, в который можно вписать окружность, зная длины двух соседних сторон<i>AB</i>и <i>AD</i>и углы при вершинах <i>B</i>и <i>D</i>.
Постройте четырехугольник<i>ABCD</i>, у которого диагональ<i>AC</i>является биссектрисой угла <i>A</i>, зная длины его сторон.
Точка <i>M</i> лежит на диаметре <i>AB</i> окружности. Хорда <i>CD</i> окружности проходит через точку <i>M</i> и пересекает прямую <i>AB</i> под углом в 45°.
Докажите, что величина <i>CM</i>² + <i>DM</i>² не зависит от выбора точки <i>M</i>.