Олимпиадные задачи из источника «глава 17. Осевая симметрия» - сложность 3 с решениями

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

Докажите, что если многоугольник имеет четное число осей симметрии, то он имеет центр симметрии.

Докажите, что если плоская фигура имеет ровно две оси симметрии, то эти оси перпендикулярны.

Вписанная окружность касается сторон треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁; точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что  <i>A</i>₂<i>B</i>₂ || <i>AB</i>  и прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂ и <i>CC</i>₂ пересекаются в одной точке.

Пусть<i>l</i>₃=<i>S</i>_l₁(<i>l</i>₂). Докажите, что<i>S</i>_l₃=<i>S</i>_l₁<tt>o</tt><i>S</i>_l₂<tt>o</tt><i>S</i>_l₁.

Даны три прямые <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>. Пусть<i>T</i>=<i>S</i>_a<tt>o</tt><i>S</i>_b<tt>o</tt><i>S</i>_c. Докажите, что<i>T</i><tt>o</tt><i>T</i> — параллельный перенос (или тождественное отображение).

Даны три прямые<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>. Докажите, что композиция симметрий<i>S</i>_c<tt>o</tt><i>S</i>_b<tt>o</tt><i>S</i>_aявляется симметрией относительно некоторой прямой тогда и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной точке.

Дана прямая <i>l</i>и две точки <i>A</i>и <i>B</i>по одну сторону от нее. Найдите на прямой <i>l</i>точку <i>X</i>так, чтобы длина ломаной<i>AXB</i>была минимальна.

Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.

Постройте треугольник по данным серединам двух сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведенная к одной из этих сторон.

Дана прямая <i>MN</i> и две точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от нее. Постройте на прямой <i>MN</i> точку <i>X</i> так, что  ∠<i>AXM</i> = 2∠<i>BXN</i>.

Дан острый угол<i>MON</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>внутри его. Найдите на стороне<i>OM</i>точку <i>X</i>так, чтобы треугольник<i>XYZ</i>, где <i>Y</i>и <i>Z</i> — точки пересечения прямых<i>XA</i>и <i>XB</i>с <i>ON</i>, был равнобедренным:<i>XY</i>=<i>XZ</i>.

Через точку <i>M</i>основания<i>AB</i>равнобедренного треугольника<i>ABC</i>проведена прямая, пересекающая его боковые стороны<i>CA</i>и <i>CB</i>(или их продолжения) в точках <i>A</i>₁и <i>B</i>₁. Докажите, что<i>A</i>₁<i>A</i>:<i>A</i>₁<i>M</i>=<i>B</i>₁<i>B</i>:<i>B</i>₁<i>M</i>.

Равные окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂касаются окружности <i>S</i>внутренним образом в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂. Произвольная точка <i>C</i>окружности <i>S</i>соединена отрезками с точками <i>A</i>₁и <i>A</i>₂. Эти отрезки пересекают <i>S</i>₁и <i>S</i>₂в точках <i>B</i>₁и <i>B</i>₂. Докажите, что<i>A</i>₁<i>A</i>₂|<i>B</i><...