Олимпиадные задачи из источника «глава 17. Осевая симметрия» - сложность 5 с решениями
Пусть движение плоскости переводит фигуру<i>F</i>в фигуру<i>F'</i>. Для каждой пары соответственных точек<i>A</i>и<i>A'</i>рассмотрим середину<i>X</i>отрезка<i>AA'</i>. Докажите, что либо все точки<i>X</i>совпадают, либо все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную<i>F</i>.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Докажите, что композиция симметрий<i>S</i>=<i>S</i><sub>AC</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>AB</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>BC</sub>является скользящей симметрией, для которой вектор переноса имеет длину2<i>R</i>sin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$, где<i>R</i>— радиус описанной окружности,$\alpha$,$\beta$,$\gamma$— углы данного треугольника.
Впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, одна из сторон которого проходит через данную точку, а остальные стороны параллельны данным прямым.
Дано <i>n</i>прямых. Постройте<i>n</i>-угольник, для которого эти прямые являются: а) серединными перпендикулярами к сторонам; б) биссектрисами внешних или внутренних углов при вершинах.
а) Впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, стороны которого параллельны заданным <i>n</i>прямым. б) Через центр <i>O</i>окружности проведено <i>n</i>прямых. Постройте описанный около окружности<i>n</i>-угольник, вершины которого лежат на этих прямых.
Две прямые пересекаются под углом $\gamma$. Кузнечик прыгает с одной прямой на другую; длина каждого прыжка равна 1 м, и кузнечик не прыгает обратно, если только это возможно. Докажите, что последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда$\gamma$/$\pi$ — рациональное число.
В данный остроугольный треугольник впишите треугольник наименьшего периметра.