Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Симметрия помогает решить задачу»

Через точку <i>M</i>основания<i>AB</i>равнобедренного треугольника<i>ABC</i>проведена прямая, пересекающая его боковые стороны<i>CA</i>и <i>CB</i>(или их продолжения) в точках <i>A</i>₁и <i>B</i>₁. Докажите, что<i>A</i>₁<i>A</i>:<i>A</i>₁<i>M</i>=<i>B</i>₁<i>B</i>:<i>B</i>₁<i>M</i>.

Равные окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂касаются окружности <i>S</i>внутренним образом в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂. Произвольная точка <i>C</i>окружности <i>S</i>соединена отрезками с точками <i>A</i>₁и <i>A</i>₂. Эти отрезки пересекают <i>S</i>₁и <i>S</i>₂в точках <i>B</i>₁и <i>B</i>₂. Докажите, что<i>A</i>₁<i>A</i>₂|<i>B</i><...

Точка <i>M</i> лежит на диаметре <i>AB</i> окружности. Хорда <i>CD</i> окружности проходит через точку <i>M</i> и пересекает прямую <i>AB</i> под углом в 45°.

Докажите, что величина  <i>CM</i>² + <i>DM</i>²  не зависит от выбора точки <i>M</i>.