Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Построения»
параграф 2. Построения
НазадПостройте треугольник по данным серединам двух сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведенная к одной из этих сторон.
Даны три прямые <i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>и <i>l</i><sub>3</sub>, пересекающиеся в одной точке, и точка <i>A</i>на прямой <i>l</i><sub>1</sub>. Постройте треугольник<i>ABC</i>так, чтобы точка <i>A</i>была его вершиной, а биссектрисы треугольника лежали на прямых <i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>и <i>l</i><sub>3</sub>.
Постройте треугольник<i>ABC</i>, если даны точки <i>A</i>,<i>B</i>и прямая, на которой лежит биссектриса угла <i>C</i>.
Даны три прямые <i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>и <i>l</i><sub>3</sub>, пересекающиеся в одной точке, и точка <i>A</i><sub>1</sub>на прямой <i>l</i><sub>1</sub>. Постройте треугольник<i>ABC</i>так, чтобы точка <i>A</i><sub>1</sub>была серединой его стороны<i>BC</i>, а прямые <i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>и <i>l</i><sub>3</sub>были серединными перпендикулярами к сторонам.
Дана прямая <i>MN</i> и две точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от нее. Постройте на прямой <i>MN</i> точку <i>X</i> так, что ∠<i>AXM</i> = 2∠<i>BXN</i>.
Дан острый угол<i>MON</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>внутри его. Найдите на стороне<i>OM</i>точку <i>X</i>так, чтобы треугольник<i>XYZ</i>, где <i>Y</i>и <i>Z</i> — точки пересечения прямых<i>XA</i>и <i>XB</i>с <i>ON</i>, был равнобедренным:<i>XY</i>=<i>XZ</i>.
Дана прямая <i>l</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>, лежащие по одну сторону от нее. Постройте такую точку <i>X</i>прямой <i>l</i>, что<i>AX</i>+<i>XB</i>=<i>a</i>, где <i>a</i> — данная величина.
Постройте треугольник<i>ABC</i>по: а) <i>c</i>,<i>a</i>-<i>b</i>(<i>a</i>><i>b</i>) и углу <i>C</i>; б) <i>c</i>,<i>a</i>+<i>b</i>и углу <i>C</i>.
Постройте треугольник<i>ABC</i>по стороне <i>c</i>, высоте <i>h</i><sub>c</sub>и разности углов <i>A</i>и <i>B</i>.
Постройте треугольник<i>ABC</i>по <i>a</i>,<i>b</i>и разности углов <i>A</i>и <i>B</i>.
Постройте четырехугольник<i>ABCD</i>, в который можно вписать окружность, зная длины двух соседних сторон<i>AB</i>и <i>AD</i>и углы при вершинах <i>B</i>и <i>D</i>.
Постройте четырехугольник<i>ABCD</i>, у которого диагональ<i>AC</i>является биссектрисой угла <i>A</i>, зная длины его сторон.