Олимпиадные задачи из источника «2014 год»

На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр "01" заменять на набор цифр "1000". Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Окружности с центрами <i>A</i> и <i>C</i> проходят через точку <i>B</i>, вторично пересекаются в точке <i>F</i> и пересекают описанную окружность ω треугольника <i>ABC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Отрезок <i>BF</i> пересекает окружность ω в точке <i>O</i>. Докажите, что <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>DEF</i>.

При каких значениях <i>x</i> и <i>y</i> верно равенство  <i>x</i>² + (1 – <i>y</i>)² + (<i>x – y</i>)² = &frac13;?

Существует ли тетраэдр <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB = AC = AD = BC</i>,  а суммы плоских углов при каждой из вершин <i>В</i> и <i>С</i> равны по 150°?

Какое наименьшее количество множителей требуется вычеркнуть из числа 99! так, чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 2?

Не используя калькулятора, определите знак числа  (cos(cos 1) – cos 1)(sin(sin 1) – sin 1).

В одной из вершин шестиугольника лежит золотая монета, а в остальных ничего не лежит. Кощей Бессмертный чахнет над златом и каждое утро снимает с одной вершины произвольное количество монет, после чего тут же кладёт на соседнюю вершину в шесть раз больше монет. Если к исходу какого-то дня во всех вершинах будет поровну монет, Кощей станет Властелином Мира. Докажите, что хоть злата у него сколько угодно, но Властелином Мира ему не бывать.

В треугольнике <i>АВС</i> точки <i>М</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AC</i> и <i>ВС</i> соответственно. Известно, что точка пересечения медиан треугольника <i>AMN</i> является точкой пересечения высот треугольника <i>АВС</i>. Найдите угол <i>АВС</i>.

Каждый день, с понедельника по пятницу, ходил старик к синему морю и закидывал в море невод. При этом каждый день в невод попадалось не больше рыбы, чем в предыдущий. Всего за пять дней старик поймал ровно 100 рыбок. Какое наименьшее суммарное количество рыбок он мог поймать за три дня – понедельник, среду и пятницу?

В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: <i>A, B, C, D, E</i> и <i>F</i>. Известно, что отрезки <i>AB</i> и <i>DE, BC</i> и <i>EF, CD</i> и <i>FA</i> попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны.

Докажите, что если в выражении  (<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)²⁰¹⁴  раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.

Если разделить 2014 на 105, то в частном получится 19 и в остатке тоже 19.

На какие ещё натуральные числа можно разделить 2014, чтобы частное и остаток совпали?

Из шахматной доски размером 8×8 вырезали квадрат размером 2×2 так, что оставшуюся доску удалось разрезать на прямоугольники размером 1×3. Определите, какой квадрат могли вырезать.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный. На его диагоналях <i>AC</i> и <i>BD</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно так, что  <i>AK = AB</i>  и  <i>DL = DC</i>.

Докажите, что прямые <i>KL</i> и <i>AD</i> параллельны.

Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать НОД (наибольший общий делитель) этих чисел?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая, параллельная <i>AC</i>, пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>T</i> соответственно, а медиану <i>AM</i> – в точке <i>Q</i>. Известно, что  <i>PQ</i> = 3,  а  <i>QT</i> = 5.  Найдите длину <i>AC</i>.

Про коэффициенты <i>a, b, c</i> и <i>d</i> двух квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>bx + c</i>  и  <i>x</i>² + <i>ax + d</i>  известно, что 0 < <i> a < b < c < d</i>.

Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?

В круговом шахматном турнире участвовало шесть человек: два мальчика и четыре девочки. Могли ли мальчики по итогам турнира набрать в два раза больше очков, чем девочки? (В круговом шахматном турнире каждый игрок играет с каждым по одной партии. За победу дается 1 очко, за ничью – 0,5, за поражение – 0).

Гномы сели за круглый стол и голосованием решили много вопросов. По каждому вопросу можно было голосовать "за", "против" или воздержаться. Если оба соседа какого-либо гнома по какому-нибудь вопросу выбрали один и тот же вариант ответа, то при голосовании по следующему вопросу он выберет этот же вариант. А если они выбрали два разных варианта, то при голосовании по следующему вопросу гном выберет третий вариант. Известно, что по вопросу "Блестит ли золото?" все гномы проголосовали "за", а по вопросу "Страшен ли Дракон?" Торин воздержался. Сколько могло быть гномов?

В треугольнике <i>АВС</i> угол <i>В</i> равен 120°,  <i>АВ</i> = 2<i>ВС</i>.  Серединный перпендикуляр к стороне <i>АВ</i> пересекает <i>АС</i> в точке <i>D</i>. Найдите отношение  <i>AD</i> : <i>DC</i>.

Три пирата вечером поделили добытые за день бриллианты: по двенадцать Биллу и Сэму, а остальные – Джону, который считать не умел. Ночью Билл у Сэма, Сэм у Джона, а Джон у Билла украли по одному бриллианту. В результате средняя масса бриллиантов у Билла уменьшилась на один карат, у Сэма уменьшилась на два карата, зато у Джона увеличилась на четыре карата. Сколько бриллиантов досталось Джону?

Вершину <i>A</i> параллелограмма <i>ABCD</i> соединили отрезками с серединами сторон <i>BC</i> и <i>CD</i>. Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол <i>ВАD</i>: острым, прямым или тупым.

Из клетчатой бумаги вырезана прямоугольная рамка (см. рисунок). Её разрезали по границам клеток на девять частей и сложили из них квадрат 6×6. Могли ли все части, полученные при разрезании, оказаться различными? (При складывании квадрата части можно переворачивать.)<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64943/problem_64943_img_2.gif"></div>

Графики трёх функций  <i>y = ax + a,  y = bx + b</i>  и  <i>y = cx + d</i>  имеют общую точку, причём  <i>a ≠ b</i>.  Обязательно ли  <i>c = d</i>?

Можно ли в кружках (см. рисунок) разместить различные натуральные числа таким образом, чтобы суммы трёх чисел вдоль каждого отрезка оказались равными?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64941/problem_64941_img_2.gif"></div>