Олимпиадные задачи из источника «9 класс»

Из шахматной доски размером 8×8 вырезали квадрат размером 2×2 так, что оставшуюся доску удалось разрезать на прямоугольники размером 1×3. Определите, какой квадрат могли вырезать.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный. На его диагоналях <i>AC</i> и <i>BD</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно так, что  <i>AK = AB</i>  и  <i>DL = DC</i>.

Докажите, что прямые <i>KL</i> и <i>AD</i> параллельны.

Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать НОД (наибольший общий делитель) этих чисел?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая, параллельная <i>AC</i>, пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>T</i> соответственно, а медиану <i>AM</i> – в точке <i>Q</i>. Известно, что  <i>PQ</i> = 3,  а  <i>QT</i> = 5.  Найдите длину <i>AC</i>.

Про коэффициенты <i>a, b, c</i> и <i>d</i> двух квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>bx + c</i>  и  <i>x</i>² + <i>ax + d</i>  известно, что 0 < <i> a < b < c < d</i>.

Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?

В круговом шахматном турнире участвовало шесть человек: два мальчика и четыре девочки. Могли ли мальчики по итогам турнира набрать в два раза больше очков, чем девочки? (В круговом шахматном турнире каждый игрок играет с каждым по одной партии. За победу дается 1 очко, за ничью – 0,5, за поражение – 0).