Задача
При каких значениях x и y верно равенство x² + (1 – y)² + (x – y)² = ⅓?
Решение
Первый способ. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим
0 = 2x² + 2(1 – y)² + 2(x – y)² – 2/3 = 4x² + 4y² – 4xy – 4y + 4/3 = (2x – y)² + 3(y – 2/3)2. Отсюда 2x = y = 2/3.
Второй способ. Согласно неравенству Коши-Буняковского (см. задачу 161402 а) Но левая часть тоже равна 1, а неравенство превращается в равенство, когда векторы (1, 1, 1) и (x, 1 – y, y – x) пропорциональны, то есть когда x = 1 – y = y – x ⇔ 2x = y, 3x = 1.
Ответ
При x = 1/3, y = 2/3.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет