Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр "01" заменять на набор цифр "1000". Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Окружности с центрами <i>A</i> и <i>C</i> проходят через точку <i>B</i>, вторично пересекаются в точке <i>F</i> и пересекают описанную окружность ω треугольника <i>ABC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Отрезок <i>BF</i> пересекает окружность ω в точке <i>O</i>. Докажите, что <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>DEF</i>.

При каких значениях <i>x</i> и <i>y</i> верно равенство  <i>x</i>² + (1 – <i>y</i>)² + (<i>x – y</i>)² = &frac13;?

Существует ли тетраэдр <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB = AC = AD = BC</i>,  а суммы плоских углов при каждой из вершин <i>В</i> и <i>С</i> равны по 150°?

Какое наименьшее количество множителей требуется вычеркнуть из числа 99! так, чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 2?

Не используя калькулятора, определите знак числа  (cos(cos 1) – cos 1)(sin(sin 1) – sin 1).