Олимпиадные задачи из источника «2014 год» - сложность 2 с решениями

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Окружности с центрами <i>A</i> и <i>C</i> проходят через точку <i>B</i>, вторично пересекаются в точке <i>F</i> и пересекают описанную окружность ω треугольника <i>ABC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Отрезок <i>BF</i> пересекает окружность ω в точке <i>O</i>. Докажите, что <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>DEF</i>.

При каких значениях <i>x</i> и <i>y</i> верно равенство  <i>x</i>² + (1 – <i>y</i>)² + (<i>x – y</i>)² = &frac13;?

Существует ли тетраэдр <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB = AC = AD = BC</i>,  а суммы плоских углов при каждой из вершин <i>В</i> и <i>С</i> равны по 150°?

Какое наименьшее количество множителей требуется вычеркнуть из числа 99! так, чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 2?

Не используя калькулятора, определите знак числа  (cos(cos 1) – cos 1)(sin(sin 1) – sin 1).

В одной из вершин шестиугольника лежит золотая монета, а в остальных ничего не лежит. Кощей Бессмертный чахнет над златом и каждое утро снимает с одной вершины произвольное количество монет, после чего тут же кладёт на соседнюю вершину в шесть раз больше монет. Если к исходу какого-то дня во всех вершинах будет поровну монет, Кощей станет Властелином Мира. Докажите, что хоть злата у него сколько угодно, но Властелином Мира ему не бывать.

Каждый день, с понедельника по пятницу, ходил старик к синему морю и закидывал в море невод. При этом каждый день в невод попадалось не больше рыбы, чем в предыдущий. Всего за пять дней старик поймал ровно 100 рыбок. Какое наименьшее суммарное количество рыбок он мог поймать за три дня – понедельник, среду и пятницу?

В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: <i>A, B, C, D, E</i> и <i>F</i>. Известно, что отрезки <i>AB</i> и <i>DE, BC</i> и <i>EF, CD</i> и <i>FA</i> попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны.

Докажите, что если в выражении  (<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)²⁰¹⁴  раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.

Если разделить 2014 на 105, то в частном получится 19 и в остатке тоже 19.

На какие ещё натуральные числа можно разделить 2014, чтобы частное и остаток совпали?

Четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный. На его диагоналях <i>AC</i> и <i>BD</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно так, что  <i>AK = AB</i>  и  <i>DL = DC</i>.

Докажите, что прямые <i>KL</i> и <i>AD</i> параллельны.

Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать НОД (наибольший общий делитель) этих чисел?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая, параллельная <i>AC</i>, пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>T</i> соответственно, а медиану <i>AM</i> – в точке <i>Q</i>. Известно, что  <i>PQ</i> = 3,  а  <i>QT</i> = 5.  Найдите длину <i>AC</i>.

Про коэффициенты <i>a, b, c</i> и <i>d</i> двух квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>bx + c</i>  и  <i>x</i>² + <i>ax + d</i>  известно, что 0 < <i> a < b < c < d</i>.

Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?

В круговом шахматном турнире участвовало шесть человек: два мальчика и четыре девочки. Могли ли мальчики по итогам турнира набрать в два раза больше очков, чем девочки? (В круговом шахматном турнире каждый игрок играет с каждым по одной партии. За победу дается 1 очко, за ничью – 0,5, за поражение – 0).

В треугольнике <i>АВС</i> угол <i>В</i> равен 120°,  <i>АВ</i> = 2<i>ВС</i>.  Серединный перпендикуляр к стороне <i>АВ</i> пересекает <i>АС</i> в точке <i>D</i>. Найдите отношение  <i>AD</i> : <i>DC</i>.

Три пирата вечером поделили добытые за день бриллианты: по двенадцать Биллу и Сэму, а остальные – Джону, который считать не умел. Ночью Билл у Сэма, Сэм у Джона, а Джон у Билла украли по одному бриллианту. В результате средняя масса бриллиантов у Билла уменьшилась на один карат, у Сэма уменьшилась на два карата, зато у Джона увеличилась на четыре карата. Сколько бриллиантов досталось Джону?

Вершину <i>A</i> параллелограмма <i>ABCD</i> соединили отрезками с серединами сторон <i>BC</i> и <i>CD</i>. Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол <i>ВАD</i>: острым, прямым или тупым.

Из клетчатой бумаги вырезана прямоугольная рамка (см. рисунок). Её разрезали по границам клеток на девять частей и сложили из них квадрат 6×6. Могли ли все части, полученные при разрезании, оказаться различными? (При складывании квадрата части можно переворачивать.)<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64943/problem_64943_img_2.gif"></div>

Можно ли в кружках (см. рисунок) разместить различные натуральные числа таким образом, чтобы суммы трёх чисел вдоль каждого отрезка оказались равными?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64941/problem_64941_img_2.gif"></div>

Биолог последовательно рассаживал 150 жуков в десять банок. Причём в каждую следующую банку он сажал жуков больше, чем в предыдущую. Количество жуков в первой банке составляет не менее половины от количества жуков в десятой банке. Сколько жуков в шестой банке?

У юного художника была одна банка синей и одна банка жёлтой краски, каждой из которых хватает на покраску 38 дм² площади. Использовав всю эту краску, он нарисовал картину: синее небо, зелёную траву и жёлтое солнце. Зелёный цвет он получал, смешивая две части жёлтой краски и одну часть синей. Какая площадь на его картине закрашена каждым цветом, если площадь травы на картине на 6 дм² больше, чем площадь неба?

Соедините точки <i>А</i> и <i>В</i> (см. рисунок) ломаной из четырёх отрезков одинаковой длины так, чтобы выполнялись следующие условия:

  1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек;

  2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек;

  3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64938/problem_64938_img_2.gif"></div>

В тридевятом царстве есть только два вида монет: 16 и 27 тугриков. Можно ли заплатить за одну тетрадку ценой в 1 тугрик и получить сдачу?

Среднее арифметическое четырёх чисел равно 10. Если вычеркнуть одно из этих чисел, то среднее арифметическое оставшихся трёх увеличится на 1, если вместо этого вычеркнуть другое число, то среднее арифметическое оставшихся чисел увеличится на 2, а если вычеркнуть третье число, то среднее арифметическое оставшихся увеличится на 3. Как изменится среднее арифметическое трёх оставшихся чисел, если вычеркнуть четвёртое число?