Олимпиадные задачи из источника «2014 год» для 11 класса
На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр "01" заменять на набор цифр "1000". Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Окружности с центрами <i>A</i> и <i>C</i> проходят через точку <i>B</i>, вторично пересекаются в точке <i>F</i> и пересекают описанную окружность ω треугольника <i>ABC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Отрезок <i>BF</i> пересекает окружность ω в точке <i>O</i>. Докажите, что <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>DEF</i>.
При каких значениях <i>x</i> и <i>y</i> верно равенство <i>x</i>² + (1 – <i>y</i>)² + (<i>x – y</i>)² = ⅓?
Существует ли тетраэдр <i>ABCD</i>, в котором <i>AB = AC = AD = BC</i>, а суммы плоских углов при каждой из вершин <i>В</i> и <i>С</i> равны по 150°?
Какое наименьшее количество множителей требуется вычеркнуть из числа 99! так, чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 2?
Не используя калькулятора, определите знак числа (cos(cos 1) – cos 1)(sin(sin 1) – sin 1).
В одной из вершин шестиугольника лежит золотая монета, а в остальных ничего не лежит. Кощей Бессмертный чахнет над златом и каждое утро снимает с одной вершины произвольное количество монет, после чего тут же кладёт на соседнюю вершину в шесть раз больше монет. Если к исходу какого-то дня во всех вершинах будет поровну монет, Кощей станет Властелином Мира. Докажите, что хоть злата у него сколько угодно, но Властелином Мира ему не бывать.
В треугольнике <i>АВС</i> точки <i>М</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AC</i> и <i>ВС</i> соответственно. Известно, что точка пересечения медиан треугольника <i>AMN</i> является точкой пересечения высот треугольника <i>АВС</i>. Найдите угол <i>АВС</i>.
Каждый день, с понедельника по пятницу, ходил старик к синему морю и закидывал в море невод. При этом каждый день в невод попадалось не больше рыбы, чем в предыдущий. Всего за пять дней старик поймал ровно 100 рыбок. Какое наименьшее суммарное количество рыбок он мог поймать за три дня – понедельник, среду и пятницу?
В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: <i>A, B, C, D, E</i> и <i>F</i>. Известно, что отрезки <i>AB</i> и <i>DE, BC</i> и <i>EF, CD</i> и <i>FA</i> попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны.
Докажите, что если в выражении (<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)<sup>2014</sup> раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.
Если разделить 2014 на 105, то в частном получится 19 и в остатке тоже 19.
На какие ещё натуральные числа можно разделить 2014, чтобы частное и остаток совпали?