Олимпиадные задачи из источника «Журнал "Квант"» - сложность 3 с решениями

В параллелограмме <i>ABCD</i>, не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла <i>BAD</i>. <i>K</i> и <i>L</i> – точки её пересечения с прямыми <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки <i>C</i>, <i>K</i> и <i>L</i>, лежит на окружности, проведённой через точки <i>B</i>, <i>C</i> и <i>D</i>.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>A</i> проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке <i>C</i>, а вторую – в точке <i>D</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины дуг <i>BC</i> и <i>BD</i>, не содержащих точку <i>A</i>, а <i>K</i> – середина отрезка <i>CD</i>. Докажите, что угол <i>MKN</i> прямой. (Можно считать, что точки <i>C</i> и <i>D</i> лежат по разные стороны от точки <i>A</i>.)

На основании <i>AB</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>D</i> так, что окружность, вписанная в треугольник <i>BCD</i>, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков <i>CA</i> и <i>CD</i> и отрезка <i>AD</i> (вневписанная окружность треугольника <i>ACD</i>). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника <i>ABC</i>, опущенной на его боковую сторону.

В плоскости выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> расположена точка <i>P</i>. Проведены биссектрисы <i>PK,PL, PM</i> и <i>PN</i> треугольников <i>APB, BPC, CPD</i> и <i>DPA</i> соответственно.

  а) Найдите хотя бы одну такую точку <i>P</i>, для которой четырёхугольник <i>KLMN</i> – параллелограмм.

  б) Найдите все такие точки.

Хорды <i>AC</i> и <i>BD</i> окружности с центром <i>O</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>AKB</i> и <i>CKD</i> соответственно. Докажите, что  <i>OM = KN</i>.

Точка <i>P</i> лежит внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = BC </i>),  причём  ∠<i>ABC</i> = 80°,  ∠<i>PAC</i> = 40°,  ∠<i>ACP</i> = 30°.  Найдите угол <i>BPC</i>.

В трапеции <i>ABCD  AB</i> – основание,  <i>AC = BC</i>,  <i>H</i> – середина <i>AB</i>. Пусть <i>l</i> – прямая, проходящая через точку <i>H</i> и пересекающая прямые <i>AD</i> и <i>BD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что либо углы <i>ACP</i> и <i>QCB</i> равны, либо их сумма равна 180°.

Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45°, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как  <i>a</i> : <i>b</i> : <i>a</i>  (эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях  <i>a</i> : <i>b</i> : <i>a</i>  и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.

Пусть <i>M</i> – внутренняя точка прямоугольника <i>ABCD</i>, а <i>S</i> – его площадь. Докажите, что <i>S ≤ AM·CM + BM·DM</i>.

В углу шахматной доски размером <i>m×n</i> полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?

a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них.

б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.

Рассматривается выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: <i>AB</i> и <i>CD</i> – в точке <i>P, CB</i> и <i>DA</i> – в точке <i>Q</i>. Пусть <i>l_A, l_B, l_C</i> и <i>l_D</i> – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно <i>A, B, C, D</i>. Пусть <i>l_P</i> и <i>l_Q</i> – внешние биссектрисы углов соответственно <i>A_PD</i> и <i>A_QB</i> (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти угл...

Существует ли такой многочлен <i>P</i>(<i>x</i>), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (<i>P</i>(<i>x</i>))^<i>n</i>,  <i>n</i> > 1,  положительны?

В квадрате клетчатой бумаги 10×10 нужно расставить один корабль 1×4, два – 1×3, три – 1×2 и четыре – 1×1. Корабли не должны иметь общих точек (даже вершин) друг с другом, но могут прилегать к границам квадрата. Докажите, что

  а) если расставлять их в указанном выше порядке (начиная с больших), то этот процесс всегда удается довести до конца, даже если в каждый момент заботиться только об очередном корабле, не думая о будущих;

  б) если расставлять их в обратном порядке (начиная с малых), то может возникнуть ситуация, когда очередной корабль поставить нельзя.

Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. В точке <i>A</i> к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Прямые <i>BM</i> и <i>BN</i> пересекают окружности еще раз в точках <i>P</i> и <i>Q</i> (<i>P</i> – на прямой <i>BM, Q</i> – на прямой <i>BN</i>). Докажите, что отрезки <i>MP</i> и <i>NQ</i> равны.

В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности найдётся некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих.

Какое наибольшее число коней можно расставить на доске 5×5 клеток так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?

Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член – это наименьшее натуральное число, которое еще не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.

Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.

2<i>n</i> радиусов разделили круг на 2<i>n</i> равных секторов: <i>n</i> синих и <i>n</i> красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до <i>n</i>. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до <i>n</i>.

Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.

Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.

a) Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладёт рубашкой вверх, а остальные – картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту. б) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли и в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?