Олимпиадные задачи из источника «1974 год»
На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.
Прямоугольный лист бумаги размером<i>a</i>×<i>b</i>см разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чисел<i>a</i>или<i>b</i>целое.
Имеется несколько гирь, масса каждой из которых равна целому числу. Известно, что их можно разбить на <i>k</i> равных по массе групп.
Доказать, что не менее чем <i>k</i> способами можно убрать одну гирю так, чтобы оставшиеся гири нельзя было разбить на <i>k</i> равных по массе групп.
Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число $1$, $2$, $3$, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?
Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200.
Доказать, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.
В клетках прямоугольной таблицы 8×5 расставлены натуральные числа. За один ход разрешается одновременно удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Доказать, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы все числа таблицы стали равными нулю.
На плоскости расположено<i>N</i>точек. Отметим середины всевозможных отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее число отмеченных точек может получиться?
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub> и <sup><i>c</i></sup>/<sub><i>d</i></sub> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |<i>bc – ad</i>| = 1.
При каких <i>n</i> правильный <i>n</i>-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях?
(Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)
В таблицу <i>n×n</i> записаны <i>n</i>² чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма <i>n</i> чисел по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.
Докажите, что если <i>a, b, c, d, x, y, u, v</i> – вещественные числа и <i>abcd</i> > 0, то
<div align="center">(<i>ax + bu</i>)(<i>av + by</i>)(<i>cx + dv</i>)(<i>cu + dy</i>) ≥ (<i>acuvx + bcuxy + advxy + bduvy</i>)(<i>acx + bcu + adv + bdy</i>). </div>
Дан треугольник <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub><i>O</i>. В нём проводится биссектриса <i>C</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>3</sub>, затем в треугольнике <i>C</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>3</sub><i>O</i> – биссектриса <i>C</i><sub>3</sub><i>C</i><sub>4</sub> и так далее.
Докажите, что последовательность величин углов γ<i><sub>n</sub> = C</i><sub><i>n</i>+1</sub><i>C<sub>n</sub>O</i> стремится к пределу, и найдите этот предел, если <i>C</i><sub>1</sub><i>OC</i><...
На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число – модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?
Для каких <i>n</i> существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из <i>n</i> звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
На<i>n</i>карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых<nobr>равно 1</nobr><nobr>или –1.</nobr>За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех<nobr><i>n</i> чисел,</nobr>если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел на<nobr>а) любых</nobr>трёх карточках;<nobr>б) любых</nobr>трёх карточках, лежащих подряд? (Здесь<nobr><i>n</i> —</nobr>натуральное число,<nobr>большее 3).</nobr>
Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.
а) На плоскости даны<i>n</i>векторов, длина каждого из которых<nobr>равна 1.</nobr>Сумма всех<i>n</i>векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех<nobr><i>k</i> = 1,</nobr>2, ...,<i>n</i>выполнялось следующее условие: длина суммы первых<nobr><i>k</i> векторов</nobr>не<nobr>превышает 3.</nobr>б) Докажите аналогичное утверждение для <i>n</i> векторов с <nobr>суммой 0,</nobr> длина каждого из которых не <nobr>превосходит 1.</nobr> в) Можно ли заменить <nobr>число 3</nobr> в <nobr>пункте а)</nobr> меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в <nobr>пункте б).</nobr>
Найдите наименьшее число вида а) |11<sup><i>k</i></sup> – 5<sup><i>n</i></sup>|; б) |36<sup><i>k</i></sup> – 5<sup><i>n</i></sup>|; в) |53<sup><i>k</i></sup> – 37<sup><i>n</i></sup>|, где <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа.
На отрезке [0; 1] задана<nobr>функция <i>f</i>.</nobr>Эта функция во всех точках неотрицательна,<nobr><i>f</i>(1) = 1,</nobr>наконец, для любых двух неотрицательных чисел<i>x</i><sub>1</sub>и<i>x</i><sub>2</sub>, сумма которых не<nobr>превосходит 1,</nobr>величина<nobr><i>f</i> (<i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub>)</nobr>не превосходит суммы величин<nobr><i>f</i>(<i>x</i><sub>1</sub>)</nobr>и<nobr><i>f</i>(<i>x</i><sub>2</sub>).</nobr>а) Докажите для любого числа <i>x</i> отрезка [0; 1] неравенство...
Для всякого ли натурального <i>n</i> можно расставить первые <i>n</i> натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?
Обозначим через <i>T<sub>k</sub></i>(<i>n</i>) сумму произведений по <i>k</i> чисел от 1 до <i>n</i>. Например, <i>T</i><sub>2</sub>(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
а) Найдите формулы для <i>T</i><sub>2</sub>(<i>n</i>) и <i>T</i><sub>3</sub>(<i>n</i>).
б) Докажите, что <i>T<sub><i>k</i></sub></i>(<i>n</i>) является многочленом от <i>n</i> степени 2<i>k</i>.
в) Укажите метод нахождения многочленов <i>T</i><sub><i>k</i></sub>(<i>n</i>) при <i>k</i> = 2, 3, 4, ... и примените его для о...
В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном), а второй – один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй – ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски – <i>n×n</i>, где <i>n</i> > 3)?
В городе одна синяя площадь и <i>n</i> зелёных, причём каждая зелёная площадь соединена улицами с синей и с двумя зелёными, как показано на рисунке. На каждой из 2<i>n</i> улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую площадь можно проехать и с каждой – уехать. Докажите, что с каждой площади этого города можно, не нарушая правил, доехать до любой из остальных. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73799/problem_73799_img_2.gif"></div>
Какое наибольшее количество а) ладей; б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?