Олимпиадная задача о многочленах с отрицательным коэффициентом, Крыжановский О. Ф.
Задача
Существует ли такой многочлен P(x), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (P(x))n, n > 1, положительны?
Решение
Достаточно найти такой многочлен, что коэффициенты его квадрата и куба положительны: любая другая степень представима в виде произведения квадратов и кубов.
Назовём многочлен положительным, если все его коэффициенты положительны.
Рассмотрим многочлен f(x) = x4 + x³ + x + 1. Легко видеть, что многочлены f²(x) и f³(x) положительны. Но сам многочлен f(x) не является положительным: один из коэффициентов равен нулю. Чтобы получить многочлен с отрицательным коэффициентом, немного "пошевелим" многочлен f(x), то есть рассмотрим многочлен g(x) = f(x) – εx² при достаточно малом ε > 0. Коэффициенты многочленов g² и g³ близки к коэффициентам многочленов f² и f³ и, значит, положительны.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь