Олимпиадные задачи из источника «1992 год»

Пусть <i>n</i> и <i>b</i> – натуральные числа. Через  <i>V</i>(<i>n, b</i>)  обозначим число разложений <i>n</i> на сомножители, каждый из которых больше <i>b</i> (например:

36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12,  так что  <i>V</i>(36, 2) = 5).  Докажите, что  <i>V</i>(<i>n, b</i>) < ^<i>n</i>/_<i>b</i>.

Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 101-е место?

Даны три треугольника: <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>B</i>₁<i>B</i>₂<i>B</i>₃, <i>C</i>₁<i>C</i>₂<i>C</i>₃. Известно, что их центры тяжести (точки пересечения медиан) лежат на одной прямой, а никакие три из девяти вершин этих треугольников не лежат на одной прямой. Рассматриваются 27 треугольников вида <i>A_iB_jC_k</i>, где <i>i, j, k</i> независимо пробегают значения 1, 2, 3. Докажите, что...

Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i>, заполненная числами по следующему правилу: в клетке, стоящей в <i>i</i>-й строке и <i>j</i>-м столбце таблицы записано число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98139/problem_98139_img_2.gif">   В таблице зачеркнули <i>n</i> чисел таким образом, что никакие два зачёркнутых числа не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма зачёркнутых чисел не меньше 1.

Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая ломаная (самопересекающаяся), содержащая 51 звено, причём известно, что длина каждого звена равна   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98138/problem_98138_img_2.gif"> .   Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат звенья ломаной, образующие этот угол (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше, чем утроенная площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.

Круг разбит на <i>n</i> секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек  <i>n</i> + 1.  Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.

Точка <i>P</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Построим треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, стороны которого параллельны отрезкам <i>PA, PB, PC</i>

(<i>B</i>₁<i>C</i>₁ || <i>PA,  C</i>₁<i>A</i>₁ || <i>PB,  A</i>₁<i>B</i>₁ || <i>PC</i>). Через точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ проведены прямые, пар...

Пусть в прямоугольном треугольнике <i>AB</i> и <i>AC</i> – катеты,  <i>AC > AB</i>.  На <i>AC</i> выбрана точка <i>E</i>, а на <i>BC</i> – точка <i>D</i> так, что  <i>AB = AE = BD</i>.

Докажите, что треугольник <i>ADE</i> прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника <i>ABC</i> относятся как  3 : 4 : 5.

<i>n</i> чисел  (<i>n</i> > 1)  называются <i>близкими</i>, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на  <i>n</i> – 1.  Пусть  <i>a, b, c, ...   – n</i> близких чисел, <i>S</i> – их сумма. Докажите, что

  а) все они положительны;

  б)  <i>a + b > c</i>;

  в)  <i>a + b > ^S</i>/_<i>n</i>–1.

<i>n</i> школьников хотят разделить поровну <i>m</i> одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.

  а) При каких <i>n</i> это возможно, если   <i>m</i> = 9?

  б) При каких <i>n</i> и <i>m</i> это возможно?

Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон.

Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?

Можно ли <i>n</i> раз рассадить  2<i>n</i> + 1  человек за круглым столом, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если

 а)  <i>n</i> = 5;  б)  <i>n</i> = 4;  в) <i>n</i> – произвольное натуральное число?

Круг поделили хордой <i>AB</i> на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки <i>A</i>. При этом повороте точка <i>B</i> перешла в точку <i>D</i> (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/55754/problem_55754_img_2.gif"></div>Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка <i>BD</i>, перпендикулярны друг другу.

Последовательность {<i>a_n</i>} определяется правилами:  <i>a</i>₀ = 9,   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/35392/problem_35392_img_2.gif">  .

Докажите, что в десятичной записи числа <i>a</i>₁₀ содержится не менее 1000 девяток.