Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов от Савина А. П. — преобразование площади четырёхугольника
Задача
Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45°, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как a : b : a (эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях a : b : a и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.
Решение
Очевидно, a : b = 1 : 
.
Рассмотрим теперь произвольный выпуклый четырёхугольник ABCD (см. рисунок).
: 1. Пусть также прямая l1, проходящая через точку P параллельно диагонали BD, пересекает диагональ AC в точке S, прямая l2, проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает диагональ BD в точке T, а прямые l1
и l2 пересекаются в точке R. Поскольку треугольники APS и QPR подобны с коэффициентом 
, то площадь первого равна половине
площади второго. Точно так же докажем, что площадь треугольника BQT
вдвое меньше площади треугольника QPR. Значит,
SPQR = SAPS + SBQT. Аналогично получаем, что сумма площадей четырёх добавленных треугольников равна сумме площадей четырёх отсечённых, что и требовалось.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь