Олимпиадные задачи из источника «1991 год»

На основании <i>AB</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>D</i> так, что окружность, вписанная в треугольник <i>BCD</i>, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков <i>CA</i> и <i>CD</i> и отрезка <i>AD</i> (вневписанная окружность треугольника <i>ACD</i>). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника <i>ABC</i>, опущенной на его боковую сторону.

Сумма <i>n</i> чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше  – ¹/_<i>n</i>.

Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то сумма больше 4.

На прямоугольном экране размером <i>m</i>×<i>n</i>, разбитом на единичные клетки, светятся более  (<i>m</i> – 1)(<i>n</i> – 1)  клеток. Если в каком-либо квадрате 2×2 не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет светиться хотя бы одна клетка.

Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий 200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению, величину расходов, проследив за тем, чтобы общая сумма расходов не превысила заданную величину <i>S</i>. По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов, которую согласны выделить не менее <i>k</i> депутатов. При каком наименьшем <i>k</i> можно гарантировать, что общая сумма утверждённых расходов не превысит <i>S</i>?

Куб размером10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.

Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₂ диагонали <i>A</i>₁<i>A</i>₅, <i>A</i>₂<i>A</i>₆, <i>A</i>₃<i>A</i>₈ и <i>A</i>₄<i>A</i>₁₁ пересекаются в одной точке.

Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина – на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.

Для данной хорды <i>MN</i> окружности рассматриваются треугольники <i>ABC</i>, основаниями которых являются диаметры <i>AB</i> этой окружности, не пересекающие <i>MN</i>, а стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> проходят через концы <i>M</i> и <i>N</i> хорды <i>MN</i>. Докажите, что высоты всех таких треугольников <i>ABC</i>, опущенные из вершины <i>C</i> на сторону <i>AB</i>, пересекаются в одной точке.