Олимпиадные задачи из источника «1970 год»

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1. все грани равновелики;

2. каждое ребро равно противоположному;

3. все грани равны;

4. центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5. суммы углов при каждой вершине равны;

6. сумма плоских углов при каждой вершине равна 180<i>^o </i>;

7. развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8. все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9. ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10. параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11...

Имеется натуральное число  <i>n</i> > 1970.  Возьмём остатки от деления числа 2^<i>n</i> на 2, 3, 4, ..., <i>n</i>. Доказать, что сумма этих остатков больше 2<i>n</i>.

Доказать, что если натуральное число <i>k</i> делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.

Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.

Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?

Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или же во всех клетках одного столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями, получить ровно 1970 минусов?

В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "<i>выборщика</i>" для голосования в большей группе: выборщики в...

а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,

а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.

Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

При каких <i>n</i> гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., <i>n</i> г можно разложить на три равные по массе кучки?

a) Найдите число<i>k</i>, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и<i>k</i>). б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не будет.

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше<nobr><i>n</i> цифр,</nobr>разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во<nobr>второе —</nobr>c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа<nobr><i>k</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i></nobr>сумма<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел первого множества равна сумме<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел второго множества.

<div class="catalogueproblemauthor">Автор: Г.А.Гальперин</div><img src="/storage/problem-media/73589/problem_73589_img_2.gif" width="260" height="181" vspace="10" hspace="20" align="right">Два одинаковых прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь пересечения этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.

Если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1. Докажите это.

На карточках написаны все числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки выложили в цепочку в произвольном порядке.

Докажите, что полученное 444445-значное число не является степенью двойки.

Биссектриса<i>AD</i>, медиана<i>BM</i>и высота<i>CH</i>остроугольного треугольника<i>ABC</i>пересекаются в одной точке. Докажите, что величина угла<i>BAC</i><nobr>больше 45°.</nobr>

Из цифр 1 и 2 составили пять <i>n</i>-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в <i>m</i> разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Докажите, что отношение ^<i>m</i>/_<i>n</i> не меньше &frac25; и не больше &frac35;.

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?

а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.

б) Из любых  2<i>n</i> – 1  целых чисел можно выбрать <i>n</i>, сумма которых делится на <i>n</i>. Докажите это.

Для любого натурального<nobr>числа <i>K</i></nobr>существует бесконечно много натуральных<nobr>чисел <i>Т</i>,</nobr>не содержащих в десятичной записи нулей и таких, что сумма цифр<nobr>числа <i>KТ</i></nobr>равна сумме цифр<nobr>числа <i>Т</i>.</nobr>Докажите это.

<img src="/storage/problem-media/73578/problem_73578_img_2.gif" width="285" height="242" vspace="10" hspace="20" align="right">Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на<nobr><i>n</i> равных</nobr>частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на<i>n</i>²треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке?

Найдите суммы

  а)   1·<i>n</i> + 2(<i>n</i> – 1) + 3(<i>n</i> – 2) + ... + <i>n</i>·1.

  б)   <i>S_n,k</i> = (1·2·...·<i>k</i>)·(<i>n</i>(<i>n</i> – 1)...(<i>n</i> – <i>k</i> + 1)) + (2·3·...·(<i>k</i> + 1))·((<i>n</i> – 1)(<i>n</i> – 2)...(<i>n</i> – <i>k</i>)) + ... + ((<i>n</i> – <i>k</i> + 1)(<i>n</i> – <i>k</i> + 2)...·<i>n</i>)·(<i>k</i>(<i>k</i> – 1)·...·1).

Целые неотрицательные числа <i>x</i> и <i>y</i> удовлетворяют равенству   <i>x</i>² – <i>mxy + y</i>² = 1   (1)   тогда и только тогда, когда <i>x</i> и <i>y</i> – соседние члены последовательности  (2):  <i>a</i>₀ = 0,  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂ = <i>m</i>,  <i>a</i>₃ = <i>m</i>² – 1,  <i>a</i>₄ = <i>m</i>³ – 2<i>m</i>,  <i>a</i>₅ = <i>m</i>⁴ – 3<i>m</i>² + 1,  ...,  в которой  <i>a</i><sub><i>...

В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.

  а) Докажите существование такого числа <i>c</i>, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше <i>c</i>; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.

  б) Докажите, что можно взять  <i>c</i> = 4.

  в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для  <i>c</i> = 3.

  г) Постройте пример, показывающий, что при  <i>c</i> > 3  утверждение неверно.