Олимпиадная задача по планиметрии 8-9 класса: равнобедренный треугольник и радиусы окружностей
Задача
На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.
Решение
Пусть M – середина AB, h – высота к боковой стороне, O и O' – центры окружностей, r – радиус, первая окружность касается прямых AB, AC и CD соответственно в точках E, G и H, а вторая – прямых AB, BC и CD – в точках F, K и L. Тогда
EF = HL = CL – CH = CK – CG = CB + BK – (CA – AG) = BF + AE, следовательно, EF = ½ AB = AM. Далее можно рассуждать по разному. Первый способ. По доказанному SECF = ½ SABС. Значит, SAOCE = SAOE + SEOC = ½ r(AE + EM) = ½ rAM, аналогично
SBO'CF = SBO'F + SFO'C = ½ rAM. Отсюда rAC = SAOC + SBO'C = (SAOC + SAOCE) + (SBO'C – SBO'CF) = SACE + SBCF = ½ SABC = ¼ h∙AC. Второй способ. Из EF = AM следует, что MF = AE. Значит, треугольники OAE и O'MF равны. Проведём из M касательную MP к второй окружности. ∠CAE = 2∠OAE = 2∠O'MF = ∠PMF, поэтому MP || BC. Следовательно, перпендикуляр, опущенный из M на BC, равен диаметру окружности, то есть 2r. Но он, очевидно, равен h/2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь