Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов, автор Гольдшейд И.

Олимпиадная задача по планиметрии: неравенство площадей в прямоугольнике для 8-9 классов

Задача

Пусть M – внутренняя точка прямоугольника ABCD, а S – его площадь. Докажите, что S ≤ AM·CM + BM·DM.

Решение

Заметим, что площадь прямоугольника ABCD равна удвоенной сумме площадей треугольников BMC и AMD. При параллельном переносе на вектор треугольник BMC перейдёт в равный ему треугольник AND. Поэтому S = 2S_AMDN ≤ AM·DN + AN·DM = AM·CM + BM·DM. (Мы воспользовались неравенством из задачи 132076.)