Олимпиадные задачи из источника «2000 год»
Хорды <i>AC</i> и <i>BD</i> окружности с центром <i>O</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>AKB</i> и <i>CKD</i> соответственно. Докажите, что <i>OM = KN</i>.
Какое наибольшее число коней можно расставить на доске 5×5 клеток так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?
Вневписанные окружности касаются сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что прямая, соединяющая середины <i>KL</i> и <i>AB</i>,
а) делит периметр треугольника <i>ABC</i> пополам;
б) параллельна биссектрисе угла <i>ACB</i>.
Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.
На плоскости проведено <i>n</i> прямых. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все <i>n</i>, при которых это возможно.