Олимпиадные задачи из источника «1999 год»
Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Описанная окружность треугольника <i>AOB</i> касается прямой <i>BC</i>.
Докажите, что описанная окружность треугольника <i>BOC</i> касается прямой <i>CD</i>.
2<i>n</i> радиусов разделили круг на 2<i>n</i> равных секторов: <i>n</i> синих и <i>n</i> красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до <i>n</i>. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до <i>n</i>.
Дана функция <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98421/problem_98421_img_2.gif"> , где трёхчлены <i>x</i>² + <i>ax + b</i> и <i>x</i>² + <i>cx + d</i> не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
2) <i>f</i>(<i>x</i>) представима в виде: <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i><sub>1</sub>(<i>f</i><sub>2</sub>(...<i>f</i><sub><i>n</i>–1</sub>(<i>f<sub>n</sub></i>(<i>x</i>))...)), где каждая из функций <i>f<sub>i</sub>...
Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?
Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.