Олимпиадные задачи из источника «1993 год»

Число рёбер многогранника равно 100.

  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?

  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,

  в) но не может равняться 100.

В таблице <i>m</i> строк, <i>n</i> столбцов. <i>Горизонтальным ходом</i> называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется <i>вертикальный ход</i> ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое <i>k</i>, что за <i>k</i> ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

В четырёхугольнике <i>ABCD</i>  <i>AB = BC = CD</i> = 1,  <i>AD</i> не равно 1. Положение точек <i>B</i> и <i>C</i> фиксировано, точки же <i>A</i> и <i>D</i> подвергаются преобразованиям, сохраняющим длины отрезков <i>AB, CD</i> и <i>AD</i>. Новое положение точки <i>A</i> получается из старого зеркальным отражением в отрезке <i>BD</i>, новое положение точки <i>D</i> получается из старого зеркальным отражением в отрезке <i>AC</i> (где <i>A</i> уже новое), затем на втором шагу опять <i>A</i> отражается относительно <i>BD</i> (<i>D</i> уже новое), затем снова преобразуется <i>D</i&gt...