Олимпиадная задача Галочкина: Найти натуральное число по делимости (8-10 класс)

  Пусть x – вычеркнутая цифра, a – часть числа слева от x, c – часть числа справа от x. Если цифра x стоит на (n+1)-м месте (считая справа), то исходное число имеет вид  10ⁿ⁺¹a + 10ⁿx + c.

  Пусть   10ⁿ⁺¹a + 10ⁿx + c = r(10ⁿa + c).  Ясно, что  2 ≤ r ≤ 19.  Кроме того,  (r – 1)c = 10ⁿ(10a – ra + x).  Значит,  (10 – r)a + x > 0,  то есть  (r – 10)a < x.  Поскольку  c < 10ⁿ,  то  r – 1 > 10a – ra + x,  или  r(a + 1) > 10a + x + 1.   Лемма. a < 10 (то есть a – цифра).

  Доказательство. Рассмотрим три случая.

  1)  r > 10.  Тогда  a < x.

  2)  r < 10.  Поскольку  c < 10ⁿ,  то  r – 1 > 10a – ra + x,  то есть  9(a + 1) ≥ r(a + 1) > 10a + x + 1.  Отсюда  9 > a + x + 1,  то есть  a < 8.

  3)  r = 10.  Тогда  (r – 1)c  не делится на 10ⁿ. Противоречие.   Число c по условию не кратно 10. Если c не кратно 5, то  r – 1  кратно 5, но не 25, значит,  n = 1,  т.е. число трёхзначно.

  Если c нечётно, то  n ≤ 4  (поскольку  r – 1  не делится на 32). Пусть  n = 4,  тогда  r – 1 = 16, (x – 7a)·5⁴ = c.  Поскольку x – это цифра,  a = 1,  x = 8 или 9.

При  x = 9  число c оканчивается нулем, что не так. При  x = 8  получаем  c = 625.