Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 7 класса - сложность 3 с решениями

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?

Существует ли треугольник, который можно разрезать: а) на 3 равных треугольника, подобных исходному?; б) на 5 треугольников, подобных исходному (не обязательно равных)?

Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.

Вершины правильного 2<i>n</i>-угольника <i>A</i>₁...<i>A</i>_2<i>n</i> разбиты на <i>n</i> пар.

Докажите, что если  <i>n</i> = 4<i>m</i> + 2  или  <i>n</i> = 4<i>m</i> + 3,  то две пары вершин являются концами равных отрезков.

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев ломаной <i>особой</i>, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особых пар чётно.

Окружность разбита точками на 3<i>k</i> дуг: по <i>k</i> дуг длины 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.

Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого<i>n</i>-угольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в вершинах<i>n</i>-угольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?

На плоскости дано 25 точек, причем среди любых трех из них найдутся две на расстоянии меньше 1. Докажите, что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек.

На шахматной доске 8×8 отмечены центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми, не проходящими через эти центры, разбить доску на части так, чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной точки?

В прямоугольнике 3×4 расположено 6 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не превосходит $\sqrt{5}$.

Точки <i>P</i> и <i>Q</i> движутся с одинаковой постоянной скоростью <i>v</i> по двум прямым, пересекающимся в точке <i>O</i>.

Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка <i>A</i>, расстояния от которой до точек <i>P</i> и <i>Q</i> в любой момент времени равны.

Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами <i>R</i>и <i>r</i>пересекает их общие внешние касательные в точках <i>A</i>и <i>B</i>и касается одной из окружностей в точке <i>C</i>. Докажите, что <i>AC</i>^.<i>CB</i>=<i>Rr</i>.

Четырехугольник <i>ABCD</i>обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол <i>BAD</i>и касающаяся продолжений сторон <i>BC</i>и <i>CD</i>. Докажите, что <i>AB</i>+<i>BC</i>=<i>AD</i>+<i>DC</i>.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i>вписанный, причем <i>AB</i>||<i>DE</i>и <i>BC</i>||<i>EF</i>. Докажите, что <i>CD</i>||<i>AF</i>.

Две окружности пересекаются в точках<i>P</i>и<i>Q</i>. Третья окружность с центром<i>P</i>пересекает первую окружность в точках<i>A</i>и<i>B</i>, а вторую — в точках<i>C</i>и<i>D</i>. Докажите, что$\angle$<i>AQD</i>=$\angle$<i>BQC</i>.

На окружности даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>M</i>и <i>N</i>. Из точки <i>M</i>проведены хорды <i>MA</i>₁и <i>MB</i>₁, перпендикулярные прямым <i>NB</i>и <i>NA</i>соответственно. Докажите, что <i>AA</i>₁||<i>BB</i>₁.

Все углы треугольника <i>ABC</i>меньше 120^<tt>o</tt>. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом 120^<tt>o</tt>.